Понятие определённого интеграла. Формулы Ньютона-Лейбница

Пусть функция определена на отрезке , . Разобьём отрезок на произвольных частей точками . В каждом из полученных частичных отрезков выберем произвольную точку и составим сумму

где - длина частичного отрезка.

Сумма вида называется интегральной суммойдля функции на . Обозначим через длину наибольшего частичного отрезка разбиения.

Если существует конечный предел интегральной суммы при , этот предел называется определённым интегралом от функции по отрезку . Обозначается , а сама функция называется интегрируемой на отрезке . Итак

.

Числа и называются нижним и верхним пределами интегрирования, - подынтегральная функция, - переменная интегрирования.

К понятию определённого интеграла мы приходим, например, при рассмотрении задачи о нахождении объёма продукции некоторого производства.

Пусть функция описывает изменение производительности некоторого производства с течением времени . Для нахождения объёма продукции , произведённый за промежуток времени , разобьём отрезок на промежутки . Тогда величину объёма продукции , произведённой за промежуток времени найдём по формуле

,

где , , .

.

Точное равенство мы получим, переходя к пределу при .

.

Учитывая определение определённого интеграла, получим , то есть если - производительность труда в момент времени , то - объём выпускаемой продукции за промежуток .

Достаточным условием интегрируемости функции на отрезке является её непрерывность на этом отрезке.

Если непрерывна на и функция является некоторой её первообразной на этом отрезке, то имеет место формула Ньютона-Лейбница

.

То есть определённый интеграл от функции на равен приращению первообразной на этом отрезке.

Пример 9. Вычислить интеграл .

Решение

Так как одной из первообразных для функции является , то применяя формулу , получим

.

Основные свойства определённого интеграла

По определению .

По определению .

Каковы бы ни были числа , всегда имеет место равенство .

Постоянный множитель можно выносить за знак определён­ного интеграла, т.е. .

Определённый интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме их интегралов

.

Пример 10. Вычислить интеграл .

Решение

.

Интеграл от неотрицательной функции на отрезке - неотрицательное число, то есть если на , то .

Если на выполняется неравенство , то такое же неравенство выполняется и для интегралов, т.е.

.

Пусть - наименьшее, а - наибольшее значения непре­рывной функции на , тогда

.

Пример 11. Оценить определённый интеграл .

Решение

Функция убывает на промежутке , поэтому , . Значит , .

Если непрерывна на отрезке , то найдётся такое значение , что .

- среднее значение функции на отрезке .

При вычислении определённых интегралов применяют также метод замены переменной, который позволяет упростить интеграл. При этом в отличие от неопределённого интеграла нет необходимости возвращаться к исходной переменной интегрирования. Достаточно найти пределы интегрирования новой переменной и воспользоваться формулой Ньютона-Лейбница.

Формула замены переменной в определённом интеграле имеет вид

.

Пример 12. Вычислить интегралы:

а) ; б) .

Решение

а)

.

б)

.

Формула интегрирования по частям в определённом интеграле имеет вид

.

Пример 13. Вычислить интеграл .

Решение

,

так как , .