Эволюция математики XVI—XIX веков

С. П. Новиков

МАТЕМАТИКА НА ПОРОГЕ XXI ВЕКА

Введение

Вторая половина XX века и ее итог: кризис физико-математического сообщества в России и на Западе

С.П.Новиков

Предлагаемая вниманию читателей статья написана известным российским математиком академиком С. П. Новиковым, работающим в настоящее время в Мэрилендском университете (США).

Не всегда солидаризируясь с оценками некоторых событий и деятельности отдельных ученых, данными автором, редколлегия разделяет его обеспокоенность за будущее физико-математического сообщества у нас в стране и в мире.

Физико-математическое сообщество для меня - это математика и теоретическая физика. В нем я вырос, работал и работаю. Именно к нему относятся большинство тех тревожных мыслей, которые я постараюсь здесь изложить. Немалая их часть зародилась у меня два-три десятилетия назад и созревала много лет. Однако тогда я связывал все эти процессы только с общим гниением и распадом коммунизма, нарастанием его несовместимости с высокоразвитым интеллектуальным сообществом, с углублением деловой некомпетентности верхов, особенно возросшим в брежневский период. Я думал, что эти процессы характерны только для научного сообщества в СССР, распад которого неизбежен исторически (хотя никто из нас не ожидал, что этот распад произойдет так скоро). Сейчас, поработав ряд лет на Западе и посмотрев на ситуацию в наиболее развитых странах, я скажу так: тревога по поводу эволюции и судьбы физико-математического сообщества у меня в последние годы неуклонно нарастает. Я говорю о судьбе нашего сообщества во всем современном цивилизованном мире, а не только в России, переживающей уже десять лет трудный переходный период, который вряд ли завершится даже еще за десять лет.

Образование до середины XX века

С.П.Новиков

Мощный постоянно усиливающийся поток знаний в точных теоретических математизированных науках постоянно требовал пересмотра и модернизации образования. В конце концов, к началу XX в. сложилась устойчивая система, где первый важнейший этап составила общеобразовательная школа - «гимназия» - от самого начала до 17—18-летнего возраста (всего 10-11 лет), и за тем специализированная высшая школа - университет. В XX в. потребовалось еще добавить «аспирантуру» - несколько лет еще более специализированного обучения, направленного на освоение глубины узкой математической специальности и на раскрытие творческих способностей, на начало научных исследований. В разных странах эта система незначительно варьировалась, по-разному называлась, но цифра 8-9 лет на полный курс (высшая школа + аспирантура) всюду была примерно одной и той же. Даже гимназическое образование не было еще общеобязательным в первую половину XX в., но требуемый «для всех» уровень постепенно повышался в передовых странах. Во второй половине XX в. последний этап гимназического образования стали делать более специализированным, чтобы успеть освоить больше математики, физики и др.

Основной чертой этой системы была весьма жесткая система экзаменов: по математике, например, экзамены были ежегодно, начиная с 10-летнего возраста. Начальные этапы - арифметика, геометрия, алгебра - изучались очень твердо. Любой важный предмет кончался экзаменом, но математика изучалась особенно назойливо - как и умение грамотно писать. Создавался твердый фундамент, на котором можно было строить будущее математическое (и прочее) образование. Что особенно важно, этот фундамент создавался достаточно рано: надо успеть потом освоить и высшую математику, и науки, на ней построенные (как теоретическую физику, например). Упустишь время, отложишь обучение - потеряешь очень много. Чем больше возраст, тем труднее влезают в голову знания, да и жизнь начинает предъявлять свои требования, мешает учиться бесконечно долго. Не последним по важности является и необходимость рано выработать устойчивую привычку к напряженной работе, к изучению математики, к логической точности, необходимое упорство и способность концентрировать свой мозг на этом. Эта способность дается от природы не всем людям, и без тренировки с раннего возраста она теряется. Чтобы облегчить эту тренировку, привить навыки и любовь к математике и подобным наукам, с какого-то времени стали практиковаться добровольные математические кружки и олимпиады. Они срабатывали весьма эффективно. Весь этот образовательный комплекс - достижение, от которого нельзя было отказываться без риска потерять все научное образование в математике.

Математика: XX век

С.П.Новиков

Первая половина XX в. - это период безраздельного господства теории множеств в идеологии математики. Развитие самой теории множеств привело к столь общим абстрактным концепциям и мысленным построениям, что возник вопрос об их осмысленности, непротиворечивости. Это способствовало интенсивному развитию математической логики, обсуждению непротиворечивости аксиоматической полноты самой теории множеств и всей математики. На первый план математических исследований выдвинулись основания математики, а также проблемы обоснования, строгого доказательства даже при взаимодействии математиков с естественными науками и приложениями. Сообщество математиков в 20-х гг. окончательно оторвалось от сообщества физиков-теоретиков. Изучение высшей математики стало ориентироваться исключительно на единое строгое изложение. Это привело к сильному сокращению содержательного изучения тех разделов математики, которые ориентировались на использование в естественных науках. В особенности это относится к современной теоретической физике, которую сообщество математиков не освоило. В СССР возникла парадоксальная ситуация, когда механики-классики оставались вместе с математиками, в то время как современная физика ушла в отдельные факультеты университетов. Нечто в этом роде произошло в 20-х гг. и на Западе, но там механики, близкие к приложениям, в большей степени разошлись с математиками, чем у нас: с математиками остались только те, кто «доказывает строгие теоремы» хотя бы как часть своей работы.

Система того образования, которое получило мое поколение математиков в СССР, складывалась в 30-50-х гг. Общая физика еще изучалась, но изучения современной теоретической физики практически не было. В конечном счете, лишь самые элементы специальной теории относительности вошли в завершающие курсы физики (в МГУ передовые механики внедрили спецтеорию в начальные курсы для механиков еще через 30 лет, в 70-е гг.); общая теория относительности и квантовая теория оставались неизвестными математическому образованию. Первые попытки их внедрить начинаются примерно с 1970 г., и их нельзя назвать успешными. В этой истории немало субъективных моментов: еще в 20-х гг. консервативные механики вроде Чаплыгина пренебрегали этими новыми науками, считали их западной чушью. П.С.Александров рассказывал мне, что Чаплыгин запретил П.Урысону включать новую тогда общую теорию относительности в его аспирантский экзамен. Это - наша специфическая русская черта - склонность к консерватизму, к отрыву от мировой науки. Даже Чебышев в XIX в., при своем блестящем аналитическом таланте был патологическим консерватором. В.Ф.Каган рассказывал, что будучи молодым приват-доцентом он встретил старого Чебышева, пытался поведать ему о современной геометрии и т.д., а тот презрительно высказался о новомодных дисциплинах типа римановой геометрии и комплексного анализа. Созданная им школа была сильной, но и с сильной склонностью к провинциализму.

Французская школа после Пуанкаре, начиная с Лебега и Бореля, пошла по ультраабстрактному пути и создала в Париже (и затем в мире) глубокий ров между математикой и естественными науками. Отдельные звезды (вроде Э.Картана и Ж.Лере), которым этот ров не нравился, при всем своем личном авторитете оказались изолированы. Блестящие группы парижских математиков, возникшие в XX в., культивировали и углубляли этот разрыв, выступили идеологами полной и единой формализации математического образования, включая школьное. Мы называем эту программу «бурбакизмом». По счастью, хотя основатели Московской математической школы - Егоров и Лузин - вывезли теорию множеств и функций из Парижа в начале XX в., ряд их учеников в 20-х гг. (когда были еще открыты контакты) попал под влияние наиболее мощной и идейно богатой тогда школы Гильберта. В результате московско-ленинградская школа пошла по более разумному пути, чем парижская, не исключая, а допуская и даже поощряя взаимодействие с внешним научным миром. Хотя Гильберт и провозгласил программу единой аксиоматизации математики и теоретической физики, но понимал он ее нетривиально. Например, еще на заре общей теории относительности он доказал замечательную глубоко нетривиальную теорему лагранжевости уравнений Эйнштейна релятивистской гравитации, которая долго оставалась недостаточно оцененной и впоследствии оказала большое влияние. Тем самым Гильберт подтвердил всесилие аксиомы, требующей, чтобы каждая фундаментальная физическая теория была лагранжевой. Это было абсолютно неясно в случае теории Эйнштейна. Каждый физик поймет ценность такого понимания «аксиоматизации и формализации» - это вам не деятельность по доказательству теорем существования и единственности сотен типов уравнений или строгое доказательство результатов, уже полученных физиками или инженерами. Из учеников Гильберта Г.Вейль сторонился теории множеств и формализации; он тесно взаимодействовал с физиками, внес фундаментальные идеи. Дж. фон Нейман был в числе идеологов формализации и аксиоматизации, но (как и Э.Нетер) понимал ее нетривиально, следуя примеру Гильберта. Они внесли большой и полезный вклад в эту программу, мы все работаем с введенными или упорядоченными ими понятиями. Школа Гильберта проводила в жизнь идеологию единства математики самой, и ее единство с теоретической физикой, идеологию «полезной формализации», пока она способствует единству. Не нужно искусственно, без нужды простое делать сложным. Например, общая теорема фон Неймана в спектральной теории самосопряженных операторов - это глубокая сложная теоретико-множественная теорема; но не следует ею подменять в процессе образования теорию простейших важных классов дифференциальных операторов, где можно и без нее. Изредка бывает, однако, что без общей теоремы не обойтись, особенно если коэффициенты сингулярны. А уж создавать тяжелую теоретико-множественную аксиоматизацию анализа начиная с элементов (как Бурбаки) - это уже чепуха, которая может только убить весь реальный анализ. Но это уже идеология математики более позднего периода.

Мое поколение: 60-е годы

С.П.Новиков

Вместе с Аносовым мы изучали современную топологию, но я -профессионально, а Аносов - как хобби. Он ориентировался на динамические системы и вскоре, под влиянием Смейла, сделал блестящую работу. Напротив, Арнольда стало явно тянуть к топологии. Некоторые вышедшие из нее новые подходы к анализу как идеология трансверсальности, общего положения, которые он узнал от меня, произвели на него большое впечатление. Я же с его помощью начал знакомиться с идеями геометрии, лежащими в основе гамильтоновой механики и гидродинамики несжимаемой жидкости, он навел меня на задачи теории слоений. Вскоре я начал посещать знаменитый семинар Гельфанда, много с ним беседовал. Его взгляд на математику мне был ближе всего, у нас возникло взаимопонимание.

Я кончил аспирантуру в 1963 г., будучи уже известным топологом. Авторитет этой области в обществе быстро возрастал. В течение всех 50-х гг. шло много разговоров об этой новой замечательной области, не понятой Гильбертом, и ее потрясающих открытиях, где рывок в начале 50-х гг. был сделан блестящей французской школой. Считалось, что после Понтрягина в СССР возник длительный перерыв: первоклассных топологических работ, сравнимых с западными, не было 10 лет. Влияние топологии на алгебру, дифференциальные уравнения с частными производными, алгебраическую и риманову геометрию, динамические системы было весьма впечатляющим. Я видел свою цель в восполнении этой лакуны в советской математике. Пока я не набрал международный вес, я ни о чем другом не думал, хотя охотно слушал людей из других областей - старался понять их основы. В 1960-1965 гг. научная фортуна была на моей стороне, и я выполнил свои задачи. Продолжая работать в топологии, я стал думать: в чем смысл нашей деятельности? Где и когда возможны применения тех идей, которые мы сейчас развиваем?

Для психически нормальной личности этот вопрос естественен и даже необходим. Любовь к математике его не отменяет. Уже тогда я ясно видел определенный комплекс неполноценности на этой почве у ряда чистых математиков, болезненное нежелание задавать этот вопрос. Напротив, другие математики, зарабатывая себе на хлеб в прикладном учреждении, работали там не без пользы, но без энтузиазма, так сказать, на ремесленном уровне, обслуживая кого-то; они не чувствовали никакой ущербности, но также видели истинную науку только в чистой математике, которой они занимались все свободное время. В начале 60-х гг. резко усилилась антиматематическая агрессивность нового класса вычислителей-профессионалов. Они начали пропаганду против чистой математики, говорили, что истинное развитие математики - это только вычислительная математика. Из старшего поколения математиков безусловно так считали А.Н.Тихонов и А.С.Кронрод. В среде вычислителей говорили, что чистые математики - это странное сообщество полусумасшедших, с птичьим языком, непонятным остальным, в том числе физикам и прикладным математикам, и их -чистых - скоро будут показывать в зоопарках. Видя все это, я много думал и стал для себя изучать соседние области математики - механику, а затем и теоретическую физику. Другие разделы математики, которые считались менее абстрактными и более прикладными, чем топология, не дали мне ответа на мои вопросы: на самом деле ни с какими естественными науками и приложениями их сегодняшнее развитие связано не было, как я обнаружил, к сожалению.

Еще худшее впечатление произвели на меня проблемы «теоретической прикладной математики», где используя терминологию, взятую из реальности, доказывают строгие теоремы о чем-то внешне похожем на реальность, но на самом деле от реальности бесконечно далеком. Престижной считалась только строгая теорема, и чем сложней доказательство, тем лучше; разумный реализм постановки, как и сам результат, ценились гораздо меньше. К сожалению, даже Колмогоров много пропагандировал «теоретическую прикладную математику». У него вообще была странная противоречивость личности: рекомендуя математикам заниматься подобными вещами, сам он, занимаясь естественными науками, включал у себя в голове какую-то кнопку и становился совсем другой личностью, далекой от чистой математики, и работал на основе других критериев.

Я решил потратить годы и изучить теоретическую физику. Начал с квантовой теории поля, но понял, что начинать надо с элементов, а не с конца. Мое решение можно объяснить тем особенным авторитетом, которым обладала физика в моих глазах. Лекции Эйнштейна, Фейнмана, Ландау и ряда других крупных физиков произвели на меня громадное впечатление. Ясность и простота при изложении математических методов резко отличалась от того, как пишут современные математики за очень редким исключением. Эту естественность рождения математических понятий я увидел впервые в юности, изучая топологию периода наивысшего расцвета визложении наиболее выдающихся топологов, где сложный и глубокий алгебраический аппарат как бы естественно и легко рождался из качественной геометрии и анализа, создавая двустороннюю интуицию об одних и тех же вещах. В физике похожие черты становились огромными, несравнимо более многообразными и доминирующими. Не случайно, кстати, в период трудностей фундаментальной физики в 80-90-х гг. квантово-полевое сообщество нашло прибежище именно в топологии. Кроме топологов, из математиков моего поколения к этому стилю стремился также Арнольд, - вот его скоро и потянуло в топологию.

Удивительная математическая красота и необыкновенно высокий уровень абстрактности потребовала физика для формулировки законов природы; этот уровень еще далеко возрос в XX в., но именно сейчас физика соединила все это с невероятной практической эффективностью и произвела революцию в технологии.

В этот период, я бы сказал, физика возглавляла прогресс человечества, а математика шла за ней, около нее. Атомные и водородные бомбы, компьютеры, революция в технологии, многие чудеса техники, преобразившие мир вокруг нас, - все это начиналось с идей и программ, выдвинутых такими лидерами физико-математических наук, как Ферми, фон Нейман, Бардин. В этом приняли участие многие физики. Все знают А.Д.Сахарова, например, вклад которого в создание водородной бомбы стал общеизвестен после того, как он стал диссидентом. В нашей стране в создании и развитии ракетно-комического комплекса на раннем этапе внесли большой вклад некоторые математики и механики, например М.В.Келдыш (брат моей матери). Советская власть долго держала заслуги таких людей в глубоком секрете, подставляя (не без собственного недальновидного участия Келдыша) фальшивые имена «псевдотворцов» на Запад, когда спрашивали - кто лидер, в период всемирного шума в конце 50-начале 60-х гг. Видимо, хотели сбить с толку империалистов, утаить от них реально важных людей хотя бы временно. Впоследствии реальные имена стали как-то называться публично, но было уже поздно - до мирового сообщества уже они не дошли - слишком много лжи было сказано до этого, такой туман напустили, что и не развеять. Что же - сами виноваты, эту ложь создавали с их участием.

У нас, однако, весь круг ученых каким-то образом об этих людях знал по разговорам и слухам. Келдыш пользовался громадным уважением. Созданный им Институт прикладной математики (ИПМ) пользовался большим авторитетом в СССР. Считали в начале 60-х гг., что учреждение типа «Стекловки» - это нечто, уходящее в прошлое, ненужное. Математики должны работать вместе с учеными из других наук, в свободное время делая и чистую математику. Такова была точка зрения наиболее просвещенных прикладных математиков в от период, включая Келдыша и Гельфанда. Да и антисемитизма в том институте не было; «Стекловка» казалась нелепым уродом. В отличие от сообщества механиков, ИПМ в большей степени держал тогда курс на союз с реальной современной физикой - быть может, не без идейного влияния Гельфанда на начальство.

Все это разрушилось в конце 60-х гг. из-за брежневских политических перемен: из-за «грехов» математиков начальство испугалось и озлобилось, ИПМ деградировал полностью. «Стекловка» в конечном счете оказалась более устойчивой: начальство там тоже усердствовало в злобе, она тоже деградировала в тот период, но потом воспрянула.

С. П. Новиков

МАТЕМАТИКА НА ПОРОГЕ XXI ВЕКА

Введение

Вторая половина XX века и ее итог: кризис физико-математического сообщества в России и на Западе

С.П.Новиков

Эволюция математики XVI—XIX веков

С.П.Новиков

Мое поколение математиков и физиков-теоретиков не ожидало встретить подобный кризис. В 50-х гг. XX в., когда мы учились в университетах, это сообщество стояло очень высоко. Позади было уже четыре-пять веков неуклонного развития наших наук. Думали, что так и будет продолжаться всегда. Эволюцию математики и математического мышления о законах природы в этот период я представляю себе так.

XVI в.: развилась алгебра многочленов; решили алгебраические уравнения 3-й и 4-й степени; как главный продукт было кардинально усовершенствовано учение о числе, ввели и начали использовать отрицательные и комплексные числа - отрицательные числа прижились сразу, а вот борьба за комплексные числа была долгой, до нашего времени.

XVII в.: появились координаты, позволившие перевести геометрию на язык алгебраических формул и расширить ее предмет; стал развиваться анализ; были сформулированы математические законы, лежащие в основе многих явлений природы, - вариационный принцип Ферма для световых лучей, принцип Галилея, закон Гука, универсальный закон гравитации, общие законы Ньютона. Возникли первые значительные прецеденты математического вывода законов природы из фундаментальных принципов (недостаточно оцененный современниками вывод закона преломления света на границе двух сред из вариационного принципа Ферма и вывод законов Кеплера Ньютоном, ставший основой современного научного метода). Появились идеи теории вероятностей.

XVIII в.:развитие анализа превратилось в мощный поток, включая линейные дифференциальные уравнения и метод собственных колебаний, вариационное исчисление и многое другое. Возникли дифференциальная геометрия, теория чисел, развилась теория вероятностей. Механика, включая небесную механику, стала зрелой далеко развитой наукой. Возникла гидродинамика.

XIX в.: математический ноток, включая теорию вероятностей, продолжает набирать силу. Возникает комплексный анализ; проблема разрешимости алгебраических уравнений порождает теорию римановьгх поверхностей и теорию групп; создается линейная алгебра; углубляется изучение симметрии и возникают алгебры Ли; геометрия, теория чисел, теория римановых поверхностей, теория дифференциальных уравнений, теория рядов Фурье и др. превращаются в мощные развитые дисциплины. Появились новые разделы физики со своими математическими законами: электричество и магнетизм, рожденная техникой термодинамика, затем -статистическая физика и кинетика. В конце XIX в. возникли первые ростки абстрактных разделов математики - такие, как теория множеств и функций действительного переменного. Возникли качественно-топологические разделы математики (качественная теория динамических систем и топология). Появились первые идеи математической логики.

В сообществе физиков стало утверждаться глубокое осознание недостаточности и даже противоречивости классической физики, построенной на механике Ньютона и законах классической электродинамики. Следует иметь в виду, что за этот период произошел грандиозный скачок в развитии технологии. Безусловно, развитие физики было в значительной мере его продуктом. Математическое понимание законов природы, о котором мы говорили, предварялось экспериментальными открытиями.

Такой пришла наша наука к началу XX в. Лидеры математики этого периода - Пуанкаре, Гильберт, Г.Вейль - олицетворяют собой рубеж, отделяющий XIX в. от XX, историю от «нашего» времени (нашего - в глазах моего поколения, для которого многие из математиков, выросших в 20-30-х гг. XX в., были старшими современниками, с которыми довелось общаться). Говоря о теоретической физике, предыстория завершается для меня вместе с Эйнштейном и Бором, т.е. с возникновением релятивистской и квантовой физики. Уже их, так сказать, научные преемники - это ученые, у которых учились люди моего поколения.

Я не претендую здесь на изложение истории. Да простят мне читатели, если я не назвал многих важных областей. Моя цель совершенно другая: продемонстрировать, что это развитие было мощным подъемом уровня знаний; прошлые достижения осваиваились следующими поколениями, подвергались унификации и упрощению. Новое органически соединялось со старым.

Образование до середины XX века

С.П.Новиков

Математика: XX век

С.П.Новиков