Исследование автоколебаний с помощью гармонической линеаризации
Пусть в системе имеют место автоколебания. Будем рассматривать случай . Отыскивать автоколебания будем в виде
, т.е.
.
Запишем уравнение данной системы:
,
откуда — условие автоколебаний.
Или (17)
Т.е. искомые значения параметров и
соответствуют положению системы на границе устойчивости из-за наличия у характеристического уравнения
2-х сопряженных мнимых корней.
Здесь и
есть
.
Следовательно, значения и
могут быть найдены с помощью известных критериев устойчивости линейных систем. При этом
и
варьируют таким образом, чтобы система вышла на границу устойчивости, соответствующую незатухающим колебаниям.
Если пользуемся критерием Гурвица, то добиваемся выполнения равенства , где
— предпоследний минор определителя Гурвица, составленного из коэффициентов характеристического уравнения:
.
По критерию Михайлова это условие
при
и по критерию Найквиста оно соответствует приведенному выше условию .
Пример.
;
;
;
.
;
;
;
;
.
Применим критерий Гурвица
,
отсюда:
;
.
определим из условия
;
;
;
, откуда
;
.
Если является нелинейной функцией
и
, то задача определения
и
значительно усложняется. В этом случае прибегают к методу последовательных приближений или к графическим методам.
С.Л. Гольдфарб предложил графический способ определения и
, состоящий в следующем:
На комплексной плоскости строятся годограф , т.е. АФХ линейной части и годограф
— инверсная АФХ нелинейной части. При этом
указывается как параметр на текущих точках последнего годографа.
В соответствии с (17) точки пересечения годографов определяют искомые значения амплитуды и частоты
автоколебаний.
Имеется ряд правил, позволяющих судить об устойчивости системы:
1) устойчивые автоколебания имеют место, если ветвь обратной АФХ нелинейного элемента от точки пересечения в сторону возрастания лежит вне области, охватываемой АФХ линейной части;
2) САР будет заведомо неустойчивой, если АФХ линейной части ее будет охватывать обратную АФХ нелинейного элемента при возрастании А.
3) если АФХ линейной части системы не охватывает , то возникновение автоколебаний (за счет первой гармонической составляющей) невозможно, однако нельзя утверждать на этом основании, что САР будет устойчивой .
Следует заметить, что до определения , мы еще не знали о возможности применения метода гармонической линеаризации.
И только теперь, когда найдена, можно установить, является ли линейная часть фильтром. Т.о., применимость метода гармонической линеаризации приходится определять в конце исследования в порядке проверки.
Метод гармонической линеаризации получил широкое распространение при исследовании нелинейных САР.
Для рассмотренного выше примера применим метод Гольдфарба.
;