Моделирование случайных векторов и процессов
Моделирование случайных векторов и процессов
Задачи моделирования на ЭВМ случайных векторов и случайных процессов, заданных на конечном интервале (0,Т), в принципе не отличаются, так как дискретные реализации случайных процессов, ограниченных во времени, можно рассматривать как выборочные значения N-мерных случайных векторов, где N=T/Δt.
Теорема Котельникова о выборе интервала дискретизации:
Δt < 1/2fв , где fв – высшая частота спектра процесса (сигнала).
Моделирование в рамках многомерных распределений.
Известны два основных метода моделирования на ЭВМ случайных векторов с заданным многомерным распределением:
1) Метод условных распределений;
2) Метод Неймана.
1. Метод условных распределений.
Алгоритм основан на рекуррентном вычислении условных плотностей вероятностей для координат формируемого вектора. Пусть случайный вектор задан своей N-мерной функцией плотности 
. Одномерная плотность распределения вероятности случайной величины 
имеет вид:
. (1).
Используя описанные выше способы моделирования случайных величин с заданным законом распределения, сформируем реализацию 
случайной величины с ω (1). Затем найдем условное распределение случайной величины 
:
Произведем выборку 
случайной величины с функцией плотности 
и так далее. Полученная таким путем последовательность пар чисел 
,будет иметь совместную плотность 
. Практическое использованиеэтого способа связано с весьма громоздкими вычислениями, за исключением тех сравнительно редких случаев, когда интегралы берутся в конечном виде.
Метод Неймана.
Пусть 
- N-мерная плотность распределения вероятностей случайного вектора 
с областью определения 
случайных координат 
. По аналогии с одномерным случаем для формирования реализаций вектора 
на ЭВМ вырабатывается N+1 случайных чисел 
, равномерно распределенных в интервалах 
соответсвенно, 
-- максимальное значение функции 
.
В качестве реализаций случайного вектора , распределенного по закону , берутся реализации случайного вектора 
, удовлетворяющие условию 
.
Реализации случайных чисел , не удовлетворяющих этому условию, отбрасываются.
Здесь в отличии от одномерного случая имитируются случайные точки не на плоскости под кривой ω(y), а в (N+1)-мерном объеме под N-мерной поверхностью .
Метод разложения в ряд Фурье
Недостатки методов 1,2,3 большой объем вычислений и большой объем памяти.
и 
-- случайные амплитуды.
Метод разложения в ряд Фурье
Для стационарных случайных процессов наиболее простой частный случай ортогонального разложения на конечном интервале (0,T) – разложение в ряд Фурье. 
-- случайные амплитуды.
При 
реализации случайного процесса является периодическими функциями с периодом 
. 
--нужно выбрать.
--дисперсии коэффициентов 
.
Моделирование случайных векторов и процессов
Задачи моделирования на ЭВМ случайных векторов и случайных процессов, заданных на конечном интервале (0,Т), в принципе не отличаются, так как дискретные реализации случайных процессов, ограниченных во времени, можно рассматривать как выборочные значения N-мерных случайных векторов, где N=T/Δt.
Теорема Котельникова о выборе интервала дискретизации:
Δt < 1/2fв , где fв – высшая частота спектра процесса (сигнала).
Моделирование в рамках многомерных распределений.
Известны два основных метода моделирования на ЭВМ случайных векторов с заданным многомерным распределением:
1) Метод условных распределений;
2) Метод Неймана.
1. Метод условных распределений.
Алгоритм основан на рекуррентном вычислении условных плотностей вероятностей для координат формируемого вектора. Пусть случайный вектор задан своей N-мерной функцией плотности . Одномерная плотность распределения вероятности случайной величины имеет вид:
. (1).
Используя описанные выше способы моделирования случайных величин с заданным законом распределения, сформируем реализацию случайной величины с ω (1). Затем найдем условное распределение случайной величины :
Произведем выборку случайной величины с функцией плотности и так далее. Полученная таким путем последовательность пар чисел ,будет иметь совместную плотность . Практическое использованиеэтого способа связано с весьма громоздкими вычислениями, за исключением тех сравнительно редких случаев, когда интегралы берутся в конечном виде.
Метод Неймана.
Пусть - N-мерная плотность распределения вероятностей случайного вектора с областью определения случайных координат . По аналогии с одномерным случаем для формирования реализаций вектора на ЭВМ вырабатывается N+1 случайных чисел , равномерно распределенных в интервалах соответсвенно, -- максимальное значение функции .
В качестве реализаций случайного вектора , распределенного по закону , берутся реализации случайного вектора , удовлетворяющие условию .
Реализации случайных чисел , не удовлетворяющих этому условию, отбрасываются.
Здесь в отличии от одномерного случая имитируются случайные точки не на плоскости под кривой ω(y), а в (N+1)-мерном объеме под N-мерной поверхностью .