Тема №2 «Проверка статистических гипотез»
Из двух нормально распределенных генеральных совокупностей и
получены малые независимые выборки, объемы которых
и
,
где [ ] означают целую часть числа, заключенного в эти скобки, - порядковый номер фамилии студента в групповом журнале.
Значения вариант и
рассчитываются по формулам:
,
и
,
,
где – номер студенческой группы.
Требуется по данным выборкам при уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу при альтернативной гипотезе
.
Пример вычисления для студента с параметрами =0,
=1.
Решение. Определим объемы выборок:
=
=
=[2,5]+8=2+8=10
=
=
=[3]+7=3+7=10.
Далее найдем значения вариант обеих выборок:
x1=1+5,5=6,5; x2=7,5; x3=8,5; x4=9,5; x5=10,5; x6=11,5; x7=12,5; x8=13,5; x9=14,5; x10=15,5;
y1= =2; y2=3; y3=4; y4=5; y5=6; y6=7; y7=8; y8=9; y9=10; y10=11.
Вычислим средние и исправленные дисперсии:
=11;
=
·(2·4,52+2·3,52+2·2,52+2·1,52+2·0,52)=
· 41,25=
· 13,756≈9,167,
=6,5;
=
·(2·4,52+2·3,52+2·2,52+2·1,52+2·0,52)=9,167.
Проверим сначала гипотезу о равенстве дисперсий , при конкурирующей
.
,
, так как
, то гипотеза о равенстве дисперсий принимается.
Можно переходить к сравнению математических ожиданий.
,
(0,05,18)=2,10, так как
то гипотеза
о равенстве математических ожиданий отвергается.
Тема №3 «Оценивание параметров и проверка гипотезы о нормальном законе распределения»
По выборочным данным, представленным ниже, требуется проверить гипотезу о нормальном законе распределения по критериям согласия Пирсона и критерию Колмогорова на уровне значимости 0,05.
Здесь - номер студенческой группы,
- номер фамилии студента в журнале.
11,70 | 12,90 | 10,32 | 9,50 | 5,91 | 11,56 | 10,81 | 9,32 | 13,00 | 12,90 |
7,35 | 11,80 | 17,00+ ![]() | 14,10 | 9,74 | 9,76 | 6,96 | 15,05 | 14,67 | 9,73+N/10 |
11,35 | 10,51 | 15,95 | 12,41 | 13,56 | 6,68 | 13,75 | 16,95 | 8,81 | 10,60+N/10 |
13,90 | 9,03 | 7,39 | 13,85 | 11,99 | 6,23 | 12,56 | 12,03 | 12,97 | 15,95 |
11,00 | 7,76 | 10,48 | 12,80 | 12,05 | 12,33 | 5,60- ![]() | 8,80 | 9,85 | 10,11+ ![]() |
9,75 | 13,70 | 12,09 | 13,40 | 9,02 | 6,67 | 12,37 | 11,67 | 12,00 | 13,60 |
15,21 | 9,70 | 13,70 | 16,10 | 13,60 | 14,40 | 14,75 | 8,06 | 13,01 | 10,70+N/10 |
13,57 | 15,30 | 12,30 | 15,85 | 17,60 | 11,25 | 12,75 | 11,50 | 12,27 | 11,50 |
9,21 | 10,79 | 11,11 | 12,31 | 16,80 | 16,20 | 10,36 | 6,86 | 12,90 | 8,64+(N+ ![]() |
14,90 | 16,00 | 12,00 | 12,31 | 9,35 | 16,60 | 15,67 | 15,33 | 8,69+ ![]() | 12,07 |
Пример вычисления для студента с параметрами =0,
=0.
Решение.
11,70 | 12,90 | 10,32 | 9,50 | 5,91 | 11,56 | 10,81 | 9,32 | 13,00 | 12,90 |
7,35 | 11,80 | 17,00 | 14,10 | 9,74 | 9,76 | 6,96 | 15,05 | 14,67 | 9,73 |
11,35 | 10,51 | 15,95 | 12,41 | 13,56 | 6,68 | 13,75 | 16,95 | 8,81 | 10,60 |
13,90 | 9,03 | 7,39 | 13,85 | 11,99 | 6,23 | 12,56 | 12,03 | 12,97 | 15,95 |
11,00 | 7,76 | 10,48 | 12,80 | 12,05 | 12,33 | 5,60 | 8,80 | 9,85 | 10,11 |
9,75 | 13,70 | 12,09 | 13,40 | 9,02 | 6,67 | 12,37 | 11,67 | 12,00 | 13,60 |
15,21 | 9,70 | 13,70 | 16,10 | 13,60 | 14,40 | 14,75 | 8,06 | 13,01 | 10,70 |
13,57 | 15,30 | 12,30 | 15,85 | 17,60 | 11,25 | 12,75 | 11,50 | 12,27 | 11,50 |
9,21 | 10,79 | 11,11 | 12,31 | 16,80 | 16,20 | 10,36 | 6,86 | 12,90 | 8,64 |
14,90 | 16,00 | 12,00 | 12,31 | 9,35 | 16,60 | 15,67 | 15,33 | 8,69 | 12,07 |
Для удобства расположим варианты в порядке возрастания.
5,60 | 8,06 | 9,50 | 10,48 | 11,50 | 12,05 | 12,56 | 13,56 | 14,40 | 15,95 |
5,91 | 8,64 | 9,70 | 10,51 | 11,50 | 12,07 | 12,75 | 13,57 | 14,67 | 15,95 |
6,23 | 8,69 | 9,73 | 10,60 | 11,56 | 12,09 | 12,80 | 13,60 | 14,75 | 16,00 |
6,67 | 8,80 | 9,74 | 10,70 | 11,67 | 12,27 | 12,90 | 13,60 | 14,90 | 16,10 |
6,68 | 8,81 | 9,75 | 10,79 | 11,70 | 12,30 | 12,90 | 13,70 | 15,05 | 16,20 |
6,86 | 9,02 | 9,76 | 10,81 | 11,80 | 12,31 | 12,90 | 13,70 | 15,21 | 16,60 |
6,96 | 9,03 | 9,85 | 11,00 | 11,99 | 12,31 | 12,97 | 13,75 | 15,30 | 16,80 |
7,35 | 9,21 | 10,11 | 11,11 | 12,00 | 12,33 | 13,00 | 13,85 | 15,33 | 16,95 |
7,39 | 9,32 | 10,32 | 11,25 | 12,00 | 12,37 | 13,01 | 13,90 | 15,67 | 17,00 |
7,76 | 9,35 | 10,36 | 11,35 | 12,03 | 12,41 | 13,40 | 14,10 | 15,85 | 17,60 |
1) находим размах выборки:
,
2) определяем число классов разбиения по формуле Стерджесса:
,
3) находим величину классового интервала:
,
4) границы и середины частичных интервалов находим по формулам:
,
,
и так далее,
,
и так далее.
5) подсчитываем частоты попадания вариант в каждый интервал:
Границы интервалов | Середина интервала | Эмпирическая частота | |
![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
4,815 | 6,385 | 5,600 | |
6,385 | 7,956 | 7,171 | |
7,956 | 9,527 | 8,741 | |
9,527 | 11,097 | 10,312 | |
11,097 | 12,668 | 11,883 | |
12,668 | 14,239 | 13,453 | |
14,239 | 15,809 | 15,024 | |
15,809 | 17,380 | 16,595 | |
17,380 | 18,951 | 18,165 |
Эмпирический интервальный ряд составлен, найдём среднее значение и СКО:
,
.
Теперь найдём теоретические частоты, предполагая нормальное распределение совокупности:
Границы интервалов | ![]() | ![]() | Границы интервалов | ![]() | ![]() | ![]() ![]() ![]() | ![]() | ||
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ||||||
4,815 | 6,385 | - | -5,497 | ![]() | -1,921 | -0,5 | -0,4726 | 0,0274 | 2,74 |
6,385 | 7,956 | -5,497 | -3,927 | -1,921 | -1,372 | -0,4726 | -0,4147 | 0,0579 | 5,79 |
7,956 | 9,527 | -3,927 | -2,356 | -1,372 | -0,823 | -0,4147 | -0,2939 | 0,1208 | 12,08 |
9,527 | 11,097 | -2,356 | -0,785 | -0,823 | -0,274 | -0,2939 | -0,1064 | 0,1875 | 18,75 |
11,097 | 12,668 | -0,785 | 0,785 | -0,274 | 0,274 | -0,1064 | 0,1064 | 0,2128 | 21,28 |
12,668 | 14,239 | 0,785 | 2,356 | 0,274 | 0,823 | 0,1064 | 0,2939 | 0,1875 | 18,75 |
14,239 | 15,809 | 2,356 | 3,923 | 0,823 | 1,372 | 0,2939 | 0,4147 | 0,1208 | 12,08 |
15,809 | 17,380 | 3,923 | 5,497 | 1,372 | 1,921 | 0,4147 | 0,4726 | 0,0579 | 5,79 |
17,380 | 18,951 | 5,497 | - | 1,921 | ![]() | 0,4726 | 0,5 | 0,0274 | 2,74 |
![]() |
Найдём наблюдаемые значения и
.
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
2,74 | 0,03 | 0,0274 | 0,03 | 0,0274 | 0,0026 | 0,0247 | |
5,79 | 0,07 | 0,0579 | 0,10 | 0,0853 | 0,0147 | 0,2529 | |
12,08 | 0,11 | 0,1208 | 0,21 | 0,2061 | 0,0039 | 0,0966 | |
18,75 | 0,16 | 0,1875 | 0,37 | 0,3936 | 0,0236 | 0,4033 | |
21,28 | 0,24 | 0,2128 | 0,61 | 0,6064 | 0,0036 | 0,3477 | |
18,75 | 0,19 | 0,1875 | 0,80 | 0,7939 | 0,0061 | 0,0033 | |
12,08 | 0,09 | 0,1208 | 0,89 | 0,9147 | 0,0247 | 0,7853 | |
5,79 | 0,10 | 0,0579 | 0,99 | 0,9726 | 0,0174 | 3,0612 | |
2,74 | 0,01 | 0,0274 | 1,00 | 1,00 | 1,1050 | ||
![]() ![]() | ![]() ![]() |
Критические значения находим в соответствующих таблицах:
=
, так как
6,08<
, то принимается гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности, аналогично
, так как
<
, то гипотеза о нормальном законе распределения подтверждается и критерием Колмогорова.
Доказали, что совокупность распределена нормально, найдём оценки генеральных параметров этой совокупности.
![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() |
-6,283 | 118,428 | -744,083 | 4675,073 |
-4,712 | 155,421 | -732,344 | 3450,805 |
-3,142 | 108,59 | -341,19 | 1072,019 |
-1,571 | 39,489 | -62,037 | 97,46 |
1,57 | 46,833 | 73,528 | 115,439 |
3,141 | 88,793 | 278,899 | 876,022 |
4,172 | 222,029 | 1046,201 | 4929,699 |
6,282 | 39,476 | 247,988 | 1557,861 |
![]() | 8,19 | -2,33 | 167,744 |
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
11,883 | 8,274 | 2,876 | -0,0979 | -0,548 | 12,064 | 11,948 |
Найдём доверительный интервал для математического ожидания при неизвестной дисперсии
.
|
![Тема №2 «Проверка статистических гипотез» Тема №2 «Проверка статистических гипотез» - student2.ru](/images/matematika/tema-n11-postroenie-statisticheskikh-ryadov-nakhozhdenie-ikh-kharakteristik-581170-123.gif)
![Тема №2 «Проверка статистических гипотез» Тема №2 «Проверка статистических гипотез» - student2.ru](/images/matematika/tema-n2-proverka-statisticheskikh-gipotez-581177-123.gif)
,
Найдём доверительный интервал для дисперсии при неизвестном
.
, где
,
,
,
,
.