Площадь криволинейного сектора.

Некоторые плоские фигуры удобно описывать в полярных координатах , где – полярный радиус точки , а – её полярный угол (угол, на который надо повернуть в направлении против часовой стрелки положительный луч оси до совмещением с радиус–вектором точки . Формулы полярной замены:

Криволинейный сектор в полярных координатах задаётся в виде

,

где функция определяет границу сектора.

y

x

Площадь криволинейного сектора равна

2) Длина дуги кривой.Пусть кривая задана как график функции , определенной на отрезке . Тогда длина L дуги равна

Если кривая задана в параметрическом виде , тогда

Длина дуги в полярных координатах. Частный случай параметрического задания кривой – её задание в полярных координатах: , . Тогда , и прямое дифференцирование и подстановка производных в формулу длины дуги, заданной в параметрическом виде, дает

3) Объем тела вращения. Многие пространственные объекты удобно представлять себе как множество точек, заметаемых той или иной плоской фигурой при её вращении в трёхмeрном пространстве вокруг какой−нибудь прямой, например, вокруг оси .

y

y = f(x)

a b x

z

Пусть тело получено вращением вокруг оси криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции , осью и прямыми , . Тогда его обьём равен

4) Площадь поверхности тела вращения. В той же ситуации, что и в пункте 3), площадь боковой поверхности тела вращения равна

Контрольная работа №1

Вариант 0

1)	2)	3)
4)	5)	6).
7)	8)

Решение варианта 0

1) .

2) .

3) .

4) .

5) .

6)

.

7)

Найдем интеграл .

.

Ответ: .

8) .

Разложим интегрируемую функцию на простые дроби

.

Приравняв числители, получим

.

Для нахождения коэффициентов A, B, C подставим в данное тождество три различных значения переменной x:

Таким образом

Вариант 1

1) 2) 3)

4) 5) 6).

7) 8)

Вариант 2

1) 2) 3)

4) 5) 6)

7) 8)

Вариант 3

1) 2) 3)

4) 5) 6)

7) 8)

Вариант 4

1) 2) 3)

4) 5) 6)

7) 8)

Вариант 5

1) 2) 3.

4) 5) 6.

7) 8)

Вариант 6

1) 2) 3)

4) 5) 6)

7) 8)

Вариант 7

1) 2) 3)

4) 5) 6)

7) 8)

Вариант 8

1) 2) 3)

4) 5) 6)

7) 8)

Вариант 9

1) 2) 3)

4) 5) 6)

7) 8)

Вариант 10

1) 2) 3)

4) 5) 6)

7) 8)

Вариант 11

1) 2) 3)

4) 5) 6)

7) 8)

Вариант 12

1) 2) 3.

4) 5) 6.

7) 8)

Вариант 13

1) 2) 3)

4) 5) 6).

7) 8)

Вариант 14

1) 2) 3)

4) 5) 6)

7) 8).

Вариант 15

1) 2) 3)

4) 5) 6)

7) 8)

Вариант 16

1) 2) 3)

4) 5) 6)

7) 8)

Вариант 17

1) 2) 3.

4) 5) 6.

7) 8)

Вариант 18

1) 2) 3)

4) 5) 6)

7) 8)

Вариант 19

1) 2) 3)

4) 5) 6)

7) 8)

Вариант 20

1) 2) 3)

4) 5) 6)

7) 8)

Вариант 21

1) 2) 3)

4) 5) 6)

7) 8)

Вариант 22

1) 2) 3)

4) 5) 6)

7) 8)

Вариант 23

1) 2) 3)

4) 5) 6.

7) 8)

Вариант 24

1) 2) 3)

4) 5) 6).

7) 8)

Вариант 25

1) 2) 3)

4) 5) 6)

7) 8).

Контрольная работа №2

Вариант 0

1)	8)	15)
2)	9) 0	16)
3)	10)	17)
4)	11)	18)
5)	12)	19)
6)	13)	20)
7)	14)

Решение варианта 0

1) .

2) .

3) .

4)

Поделим с остатком числитель подынтегральной функции на знаменатель.

.

5)

Разложим интегрируемую функцию на простые дроби

.

Приравняв числители, получим

,

откуда

Таким образом

6)

Откуда

Таким образом

7)

.

8)

Таким образом

9)

.

10)

.

11)

Таким образом,

Ответ: .

12)

Вычисляем первый из двух оставшихся интегралов:

Второй интеграл равен

Ответ: .

13)

14)

15)

16)

17)

18)

19)

.

Разложим интегрируемую функцию на простые дроби. Поскольку дробь неправильная, сначала поделим с остатком ее числитель на знаменатель

Приравняв числители, получим

Откуда

Таким образом

20)

Приравняв числители, получим

Откуда

Таким образом

i)

ii)

Ответ:

Вариант 1

1)	8)	15)
2)	9)	16)
3)	10)	17)
4)	11)	18)
5)	12)	19)
6)	13)	20)
7)	14)

Вариант 2

1)	8)	15)
2)	9)	16)
3)	10)	17)
4)	11)	18)
5)	12)	19)
6)	13)	20)
7)	14)

Вариант 3

1)	8)	15)
2)	9)	16)
3)	10)	17)
4)	11)	18)
5)	12)	19)
6)	13)	20)
7)	14)

Вариант 4

1)	8)	15)
2)	9)	16)
3)	10)	17)
4)	11)	18)
5)	12)	19)
6)	13)	20)
7)	14)

Вариант 5

1)	8)	15)
2)	9)	16)
3)	10)	17)
4)	11)	18)
5)	12)	19)
6)	13)	20)
7)	14)

Вариант 6

1)	8)	15)
2)	9)	16)
3)	10)	17)
4)	11 )	18)
5)	12)	19)
6)	13)	20)
7)	14)

Вариант 7

1)	8)	15)
2)	9)	16)
3)	10)	17)
4)	11)	18)
5)	12)	19)
6)	13)	20)
7)	14)

Вариант 8

1)	8)	15)
2)	9)	16)
3)	10)	17)
4)	11)	18)
5)	12)	19)
6)	13)	20)
7)	14)

Вариант 9

1)	8)	15)
2)	9)	16)
3)	10)	17)
4)	11)	18)
5)	12)	19)
6)	13)	20)
7)	14)

Вариант 10

1)	8)	15)
2)	9)	16)
3)	10)	17)
4)	11 )	18)
5)	12) Основные достопримечательности. Площадь Тяньаньмень - центральная площадь Пекина, самая большая площадь в мире занимает 440 тысяч кв.м (880 м в длину и 500 м в ширину) Площадь Тертр (Площадь на холме (фр. Place du Tertre)) Примеры задач. Измерь площадь большого треугольника, используя в качестве единицы измерения площадь маленького треугольника Площадь криволинейного сектора Площадь криволинейного сектора Определение площади. Площадь криволинейной трапеции. Площадь в полярных координатах. При оказании первой медицинской помощи следует уточнить общую площадь ожога и предположительную площадь глубокого поражения. Это помогает наметить рациональную терапию на догоспитальном этапе. Площади. Комсомольская площадь , Площадь Капошвара , Площадь Ленина , Площадь Революции , Советская площадь Чему соответствует площадь внутри петли давление-объем для насосной камеры? Площадь фигуры, ограниченной P-V петлей, равняется значению ударной работы. Факторами производства, причем факторы, специфические для экспортного сектора, развиваются, а факторы, специфические для сектора, конкурирующего с импортом, сокращаются ← Предыдущая страница | Следующая страница →