Функции распределения вероятностей случайных величин

Для количественной характеристики распределения случайных величин вводится понятие функции распределения F(x).

Определение. Функцией распределения случайной величины Х называется функция F(x), равная вероятности того, что случайная величина Х приняла значение меньшее наперёд заданного х:

F(x) = p(X < x).

При любом значении х функция распределения равна сумме вероятностей всех значений Х, меньших х.

Свойства функции распределения.

1)

2) F(x) – неубывающая функция.

Следствие 1. Вероятность попадания случайной величины в полуинтервал [a, b) равна приращению функции распределения на этом отрезке:

Р(а £ х < b) = F(b) – F(a). (3.19)

Пример 3.11. Случайная величина Х задана функцией распределения:

Найти вероятность того, что в результате испытания случайная величина Х примет значение, принадлежащее интервалу (1/4; 1).

Решение. Искомая вероятность равна приращению функции распределения на заданном интервале: Р(1/4 < Х <1) = F(1) – F(1/4).

Так как на интервале (1/4; 1), по условию, F(х) = х/2, то F(1) – F(1/4) = 1/2 – 1/8 = 3/8. Итак, Р(1/4 < Х <1) = 3/8.

Следствие 2. Вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет какое-либо заранее заданное значение, равна нулю:

Р(Х = а) = 0.

Для непрерывной случайной величины:

P(a < x < b) = P(a £ x £ b) = P(a £ x < b) = P(a < x £ b) = F(b) – F(a).

3) Если значение случайной величины X принадлежат ]a, b[, то

F(x) = 0 при х £ a, F(x) = 1 при х ³ b.

Определение. Плотность вероятности случайной величины X равна производной её функции распределения:

f(x) = F'(x) (3.20)

Это положительная функция f(x) ³ 0, обладающая свойством (условие нормировки плотности вероятностей):

(3.21)

Вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значение, заключённое между а и b равна интегралу от её плотности вероятности, взятому от а до b:

(3.22)

Пример 3.12. Случайная величина Х задана функцией распределения, приведенной в примере 3.10. Требуется: а) найти плотность распределения вероятностей; б) используя плотность распределения вероятностей, найти вероятность того, что в результате испытания случайная величина Х примет значение, принадлежащее интервалу (1/4; 1).

Решение. а) Найдем плотность распределения вероятностей f(х), для чего продифференцируем по х интегральную функцию F(х):

б) Искомая вероятность того, что в результате испытания случайная величина Х примет значение, принадлежащее интервалу (1/4; 1), равна определенному интегралу с пределами от 1/4 до 1 от плотности распределения вероятностей:

Рекомендуется самостоятельно построить графики функции распределения и плотности распределения вероятностей.

Пример 3.13. Плотность вероятности случайной величины равна f(x) = С×sin2x в интервале (0; p/2); вне этого интервала f(x) = 0.Найти постоянный параметр С и математическое ожидание случайной величины Х.

Решение: Плотность вероятности f(x) должна удовлетворять условию

. Потребуем, чтобы это условие выполнялось для заданной функции:

Отсюда . Вычислим определенный интеграл:

Окончательно получаем С = 1/1 = 1.

Вычислим математическое ожидание случайной величины Х:

Решим определенный интеграл методом интегрирования по частям:

примем u = x, тогда du = dx; dv = sin2xdx, тогда v = òsin2xdx = cos2x

Тогда по формуле интегрирования по частям получим:

Математическое ожидание случайной величины X: М(X) = .