Действия над линейными операторами.

Пусть Vn – вещественное (комплексное) пространство чисел. Множество всех линейных операторов этого пространства обозначим символом Hom(Vn,Vn).

Пусть f,ϕ ∈ Hom(Vn,Vn).

Два линейных оператора f и ϕ называются равными и обозначаются f = ϕ, если f(x) = ϕ(x), для любого x ∈ Vn.

Теорема 12.1. Для того чтобы два линейных оператора были равны, необходимо и достаточно чтобы они имели в заданном базисе равные матрицы.

Суммой двух линейных операторов f и ϕ ∈ Hom(Vn,Vn) называется линейное отображение ψ:Vn→Vn, определяемое формулой ψ(x) = f(x) + ϕ(x), для любого x ∈ Vn.

Сумма линейных операторов f и ϕ обозначается f + ϕ.

Теорема 12.2. Сумма двух линейных операторов f и g есть линейный оператор. Матрица суммы линейных операторов в некотором базисе равна сумме матриц этих операторов в этом же базисе.

Произведением линейного оператора f и число λ называется отображение ψ:Vn→Vn, определяемой формулой

ψ(x) = λ · f(x), ∀x ∈ Vn

Это произведение обозначается λf.

Теорема 12.3. Произведение линейного оператора f на число λ, есть линейный оператор. Матрицей этого оператора является матрица λA, где A – матрица оператора f в некотором базисе пространства Vn.

Произведением двух линейных операторов f,ϕ∈Hom(Vn,Vn) называется отображение ψ : Vn → Vn, определяемое формулой ψ(x) = f[ϕ(x)], ∀x ∈ Vn.

Произведение операторов f, ϕ обозначается fϕ или f ◦ ϕ.

Теорема12.4. Произведениедвух линейных операторов является линейным оператором. Матрица произведения линейных операторов в некотором базисе равна произведению матриц этих операторов в том же базисе.

21. Преобразование матрицы линейного оператора при переходе к новому базису.

Пусть f – линейный оператор пространства Vn, а A и B – его матрицы соответственно в базисах

E = (e1, e2, . . . , en) (12.10)

EƘ = (e’1, e’2, . . . , e'n).

Пусть вектор x линейного пространства Vn имеет координатный столбец X = в базисе (12.10) и координатный столбец X’ = в базисе (12.11). Пусть далее вектор y = f(x), который является образом вектора x при отображении f, имеет координатный столбец Y = в базисе (12.10), а в базисе (12.11) – Y ‘ = -> Y = AX, (12.12) Y ‘ = BX'.

С другой стороны, учитывая, что S-матрица перехода от базиса (12.10) к базису (12.11)

X = SX’, (12.14)

Y = SY’. (12.15)

Умножив равенство (12.14) слева на матрицу A, получим AX = ASX’ или учитывая (12.12) и (12.15), получаем

SY’ = ASX’. Отсюда Y’ = S−1ASX’. Сравнивая последнее равенство с (12.13), имеем B = S⁻¹AS. (12.16)

Таким образом, если матрица A – матрица оператора f в базисе (12.10), а S – матрица перехода от базиса (12.10) к базису (12.11), то матрица B оператора f в базисе (12.11) может быть найдена из соотношения (12.16).

Верно обратное. Пусть A – матрица линейного оператора f в базисе (12.10), S – произвольная невырожденная матрица и такая, что B = S−1AS. Если (12.11) – такой базис пространства Vn, что S – матрица перехода от (12.10) к (12.11), то в силу формулы (12.16) матрица B – матрица оператора f в базисе (12.11).

Отсюда получаем теорему.

Теорема 12.5. Две квадратные матрицы A и B n-го порядка тогда и только тогда являются матрицами некоторого линейного оператора f пространства Vn, когда существует невырожденная матрица S n-го порядка, такая, что выполняется равенство B = S−1AS.

Следствие 12.5.1. Если линейный оператор имеет в некотором базисе невырожденную матрицу, то и в любом другом базисе матрица этого оператора является невырожденной.