Интегрирование простейших функций, содержащих квадратный трехчлен
 |  | ||
1) Интегралы вида,
Они сводятся к табличным 13-16 (см. разд. 6.3) после выделения из квадратного трехчлена полного квадрата.
Пример 6.12.
Найдем интеграл
=
= 
= 
.
2) Интегралы вида , , (а¹0, m¹0).
При интегрировании таких функций сначала в числителе образуется дифференциал квадратного трехчлена: 
. Числитель преобразуется следующим образом:
.
После этого интеграл разбивается на два интеграла, первый из которых берётся по формуле 2 таблицы раздела 6.3 (u=ах2+bх+с, du=(2aх+b)dх), а второй является интегралом, рассмотренным выше.
Пример 6.13.
Найдем интеграл
.
3) Интегралы вида .
Эти интегралы приводятся к интегралам 2) подстановкой .
Пример 6.14.
Найдем интеграл
.
Интегрирование рациональных дробей
Определение 6.3.
Функция называется дробно-рациональной или рациональной дробью, если она представляет собой дробь, в числителе и знаменателе которой стоят многочлены степени m и n соответственно. Для такой функции используют обозначение : .
Если 
, то дробь называется правильной, если 
– неправильной.
Если дробь неправильная, то в этой дроби можно выделить целую часть, то есть представить её в виде ,
где 
и 
– многочлены, причем 
, а значит, дробь 
– правильная. Выделение целой части производится делением числителя 
на знаменатель 
“уголком”.
Пример 6.15.
Выделим целую часть дроби .
Разделим “уголком” числитель на знаменатель:
|
|
Целая часть 
; S1(x) = – 2x + 3.
Таким образом, .
Определение 6.4.
Дроби вида , p - 4q < 0, k ≥ 2,
называются простейшими или элементарными дробями.
Правильную рациональную дробь можно разложить на сумму простейших дробей указанных четырёх типов. Это разложение зависит от разложения на множители .
Пусть , где (x-a)k соответствует вещественному корню а кратности k, а 
– паре комплексных сопряженных корней кратности l ( ).
В разложении на элементарные дроби сомножителю (x-a)k будет соответствовать сумма k дробей вида
,
а сомножителю – сумма l дробей
.
О нахождении коэффициентов будет изложено ниже.
Пример 6.16.
Не определяя коэффициентов, запишем разложение правильной дробно-рациональной функции
на элементарные дроби.
В разложении знаменателя дроби R(x) на множители 
соответствует вещественному корню x = 0 кратности 3, x - 4 – вещественному простому корню 
, 
– паре простых комплексных сопряженных корней 
; 
– паре комплексных сопряженных корней кратности 2. Тогда разложение на элементарные дроби будет выглядеть так:
.
Рассмотрим интегрирование каждой из простейших дробей.
1) Дробь I типа 
.
2) Дробь II типа 
.
3) Дробь III типа 
, 
.
Создадим в числителе дифференциал знаменателя, т.е. выражение 
.
= 
= 
=
= 
= 
=
= 
.
4) Дробь IV типа .
Интегрирование этих дробей после выделения в числителе дифференциала квадратного трехчлена 
и выделения полного квадрата в этом трехчлене сводится в вычислению двух интегралов
а) ;
б) . (Здесь предварительно сделана замена переменной 
и 
.
Этот интеграл вычисляется по рекуррентной формуле:
.
Пусть – правильная рациональная дробь. Чтобы её проинтегрировать, нужно разложить на сумму элементарных дробей, результат интегрирования которых выражается элементарными функциями.
Если – неправильная рациональная дробь, то можно представить в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби, об интегрировании которых говорилось выше.
Пример 6.18.
Найдем интеграл .
Под интегралом стоит правильная рациональная дробь. Знаменатель её имеет вещественные простые корни 
. Разложим подынтегральную дробь на элементарные дроби: .
| |
Приведя к целому виду обе части этого тождества, получим
. Полагая последовательно 
, получим систему уравнений:
Таким образом,
= 
Пример 6.19.
Найдем интеграл .
Под интегралом – правильная рациональная дробь. Разложение на элементарные дроби имеет вид:
,
.
Коэффициенты A, B, C, D можно найти, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях 
многочленов, стоящих в равенстве слева и справа:
Решив систему уравнений, получим
, откуда
.
Замечание 6.2.
Часть коэффициентов можно найти, подставляя в обе части равенства значения вещественных корней знаменателя. В нашем случае это один вещественный корень х = 1. Имеем 2-5+5-5=2В, откуда В = -1.