Направление выпуклости кривой
Определение 4.2.
Пусть функция f(x) непрерывна на интервале (a, b). Кривая у = f(x) называется выпуклой вверх (вниз) на (a, b), если для любых двух точек M и N на этой кривой, абсциссы которых принадлежат интервалу (a, b), соединяющая их хорда лежит ниже (выше) кривой.
На рис. 4.6 кривая у = f(x) выпукла вверх, а на рис. 4.7 – вниз.
![]() | ![]() |
Замечание 4.5.
Если функция f(x) дифференцируема на интервале (a, b), то она называется выпуклой вверх (вниз) на (a, b), если касательная, проведенная в любой точке М кривой с абсциссой из (a, b), лежит выше (ниже) кривой, кроме точки касания.
На рис. 4.8 кривая y = f(x) выпукла вверх, а на рис. 4.9 – вниз.
![]() | ![]() |
Теорема 4.10 (о необходимом условии выпуклости кривой).
Предположим, что функция f(x) дважды дифференцируема на интервале (a,b), тогда если кривая y = f(x) выпукла вверх (вниз) на (a, b), то f''(x) ≤ 0 (f''(x) ≥ 0) при всех х (a, b).
Теорема 4.11 (о достаточном условии выпуклости кривой).
Пусть функция f(x) дважды дифференцируема на интервале (a, b), тогда если f''(x) < 0 (f''(x) > 0) при всех х (a, b), кроме возможно конечного числа точек, в которых f''(x) = 0, то кривая y = f(x) выпукла вверх (вниз) на (a, b).
Пример 4.8.
Определим интервалы постоянной выпуклости кривой у = f(x) = 2х + 3 .
Вычислим вторую производную: . Нетрудно видеть, что f''(x) < 0при х
(-∞, 0)
(0, +∞).
Следовательно, по теореме 4.11 исходная кривая является выпуклой вверх на промежутках (-∞, 0) и (0, +∞), что и отражено на рис. 4.5.
Точки перегиба кривой
Определение 4.3.
Предположим, что функция f(x) непрерывна на интервале (a, b) и х0 (a, b).
Точка М0 (х0, f(x0)) называется точкой перегиба кривой y = f(x), если при переходе через эту точку кривая y = f(x) меняет направление выпуклости.
Точка перегиба является локальной характеристикой и дает представление о поведении кривой лишь в некоторой окрестности х0.
На рис 4.10 и 4.11 точка М0 является точкой перегиба изображенных кривых.
![]() | |||
![]() |
Теорема 4.12(о необходимом условии перегиба кривой).
Если точка М0(х0,f(x0)) является точкой перегиба кривой y=f(x) и существует , то
=0.
Следствие
Если точка М0(х0,f(x0)) есть точка перегиба кривой y=f(x), то либо =0, либо
не существует.
Точка М0(х0,f(x0)) называется точкой, подозрительной на перегиб, если для абсциссы этой точки выполняется одно из условий следствия.
Теорема 4.13(о достаточном условии перегиба кривой).
Пусть функция f(x) дважды дифференцирована в некоторой окрестности точки x0 за исключением возможно самой точки x0, а в точке x0 функция f(x) непрерывна, тогда если меняет знак при переходе через x0, то точка М0(х0,f(x0)) является точкой перегиба кривой y=f(x).
Пример 4.9.
Определим точки перегиба кривой .
Вычислим вторую производную и найдем точки, подозрительные на перегиб:
Вторая производная существует при всех /R и обращается в нуль при x1=-1 и x2=1.
Таким образом, точки М1(-1, ln2), М2(1, ln2) являются точками, подозрительными на перегиб.
Составим следующую таблицу:
X | (-∞,-1) | -1 | (-1,1) | (1,+∞) | |
Знак f''(x) | - | + | - |
|
Построение графика функции
При исследовании функции и построении ее графика целесообразно придерживаться следующей схемы:
1. Исследование функции без использования первой и второй производных.
а) Найти область определения функции D(f).
б) Определить точки пересечения графика с осями Ох и Оу.
в) Проверить, является ли функция четной, нечетной или периодической.
г) Выяснить вопрос о существовании вертикальных и наклонных асимптот (см. п. 2.7).
2. Исследование функции с помощью первой производной.
а) Найти точки, подозрительные на экстремум.
б) Заполнить таблицу интервалов постоянной монотонности и точек экстремума.
3. Исследование функции с помощью второй производной.
а) Найти абсциссы точек, подозрительных на перегиб.
б) Заполнить таблицу интервалов постоянной выпуклости и точек перегиба.
4. Построение графика функции в целом.
Пример 4.10.
Построить график функции f(x) = .
Будем следовать изложенной выше схеме.
1. Область определения функции есть множество D(f) = (-∞, -2) (-2, +∞).
Определим точки пересечения графика функции с осями Ох, Оу: А( , 0); В(-
, 0); С(0,
).
Отметим, что функция не является ни четной, ни нечетной, а также не является периодической.
Вычислим односторонние пределы в точке х=-2: .
Следовательно, прямая х = -2 является вертикальной асимптотой.
Исследуем наличие наклонных асимптот. Пусть х→ +∞, тогда
Следовательно, прямая у = -х+2 есть наклонная асимптота при х→ +∞.
Аналогично доказывается, что та же прямая является наклонной асимптотой при х→ -∞.
2. Для определения точек, подозрительных на экстремум, вычислим производную .
Точками подозрительными на экстремум, будут точки х1 = 3 и х2 = -1, в которых производная обращается в нуль.
Заполним таблицу интервалов постоянной монотонности и точек экстремума:
х | (-∞, -3) | -3 | (-3, -2) | (-2, -1) | -1 | (-1, +∞) |
знак f'(x) | - | + | + | - | ||
Возрастание, убывание; вид экстремума | ![]() ![]() | min | ![]() | ![]() | max | ![]() |
Из таблицы видно, что х1 = хmin = -3, при этом уmin = f(xmin) = 6, а х2 = хmax = -1, при этом уmax = f(xmax) = 2.
Отметим также, что функция убывает на промежутке (-∞, -3), (-1, +∞) и возрастает на промежутках (-3, -2), (-2, -1).
Для нахождения точек, подозрительных на перегиб, вычислим вторую производную f''(x) = - .
Подозрительной на перегиб является единственная точка с абсциссой х = -2, но поскольку точка х = -2 не принадлежит области определения функции, то перегибов график функции не имеет.
Заполним таблицу интервалов постоянной выпуклости:
х | (-∞, -2) | (-2, +∞) |
знак f''(x) | + | - |
Направление выпуклости | ![]() | ![]() |
Из таблицы видно, что на промежутке (-∞, -2) кривая у = f(x) выпукла вниз, а на промежутке (-2, +∞) – выпукла вверх.
4. Строим график функции (рис. 4.13).