Дельта-функция в двумерном пространстве

Декартовы координаты: , .

Учитываем независимость x и y, записываем двумерную δ-функцию

. (2.39)

Выполняется нормировка

.

Интегральное представление

, (2.40)

где учтено

, ,

.

Переходим к полярным координатам.

Полярные координаты:

, ,

,

якобиан преобразования

.

Полагаем

.

Ищем , используя условие нормировки

.

Находим

, , .

В результате

, (2.41)

, .

В случае центральной симметрии , тогда

.

Нормировка

,

с учетом

дает

,

. (2.42)

Дельта-функция в трехмерном пространстве

Декартовы координаты: , .

. (2.44)

Интегральное представление

. (2.45)

Сферические координаты: ,

, , ,

,

,

,

, (2.46)

, , , .

В случае центральной симметрии , тогда .

Нормировка

,

с учетом

, ,

дает

,

. (2.50)

Гребенчатая функция

(2.53)

Моделирует неограниченную кристаллическую решетку, антенну и другие периодические структуры.

При Фурье-преобразовании гребенчатая функция переходит в гребенчатую функцию.

Из (2.53)

,

с учетом

(2.8)

получаем

. (2.54)

Свойства

Функция четная

,

периодическая

,

период . Фильтрующее свойство дельта-функций дает

. (2.55)

Фурье-образ

Для периодической функции с периодом L Фурье-образ выражается через коэффициенты Фурье

, (1.47)

, (1.49)

Для гребенчатой функции с периодом получаем

,

где учтено фильтрующее свойство дельта-функции. Из (1.47) находим Фурье-образ

. (2.56)

Фурье-образом гребенчатой функции является гребенчатая функция.

Из (2.56) по теореме Фурье о масштабном преобразовании аргумента получаем

. (2.59)

Увеличение периода гребенчатой функции ( ) уменьшает период и увеличивает амплитуду ее спектра.

Ряд Фурье

Используем

, (1.48)

.

Для , получаем

. (2.57)

Формула суммирования Пуассона

. (2.60)

Сумма значений функции в целочисленных точках равна сумме значений ее спектра в целочисленных точках, если ряды существуют.

Доказательство:

Выражение

(2.57)

подставляем в интеграл и с учетом фильтрующего свойства дельта-функции получаем

.

Обобщенная формула суммирования Пуассона

, (2.61)

Доказательство:

Выражение

, (2.57)

подставляем в интеграл . Для левой и правой частей (2.57) получаем левую и правую части (2.61)

,

.

Аналогично доказывается обратная формула суммирования

. (2.61а)

Произведение гребенчатой и гладкой функций

Подставляем гребенчатую функцию с периодом a

, (2.54)

используем фильтрующее свойство дельта-функции

, (2.3)

получаем

. (2.67)

Произведение гребенчатой и гладкой функций дает модулированную гребенчатую функцию.

Фурье-образ

Используем (2.67) и фильтрующее свойство дельта-функции

. (2.68)

В формуле суммирования Пуассона (2.61а)

заменяем , и находим

. (2.61б)

Сравнение (2.68) и (2.61б) дает

. (2.68)

Спектр произведения гребенчатой функции с периодом a и гладкой функции является суммой спектров гладкой функции, сдвигаемых на целое число шагов .

Для ограниченно определенной функции спектр имеет ширину, гораздо меньшую . Тогда для спектр является периодическим повторением спектра с периодом .