Непротиворечивость системы аксиом.
Система аксиом называется непротиворечивой или совместной, если в теории Т∑ этой системы аксиом невозможно доказать какое-нибудь утверждение А и доказать его отрицание ùА. В противном случае система аксиом называется противоречивой или несовместной.
Теория Т∑ , содержащая вместе с некоторым утверждением АÎТ∑ и отрицание этого утверждения ùАÎТ∑ называется не классической теорией. С точки зрения "здравого смысла" такая теория абсурдна, так как в мире "реальных вещей" некоторое свойство А "выражает" отношение этих реальных вещей и не может одновременно "не выражать" это отношение.
Теоретическая проверка совместности системы аксиом, основанная на непосредственном определении совместности, затруднительна. Действительно, пусть мы доказали утверждения А1,А2,...,Аn теории Т∑ и пусть отрицание этих свойств ùА1,..., ùАn невозможны в Т∑ . Где гарантия, что не найдется свойство Аn+1 , которое доказуемо вместе со своим отрицанием ùАn+1 в теории Т∑ ? Такой гарантии нет, поскольку перебрать все возможные утверждения некоторой теории практически невозможно. Например, евклидова геометрия, согласно работе профессора Гарвардского университета Гаррета Биркгоффа [ ], основанная на 20 аксиомах Гильберта, включает около 20000 утверждений, получаемых логическим путем. Ясно, что нет никакой возможности проверить на непротиворечивость все эти 20000 утверждений, составляющий предмет геометрической теории Т∑ ={ А1,А2,...,А20000 }.
Мы уже говорили, что с точки зрения здравого смысла, противоречивая система аксиом не должна допускать никакой реализации или модели (кроме, быть может, мыслимой модели), так как ни одно свойство в реальной модели не может иметь место вместе со своим отрицанием. Отсюда, логично сформулировать достаточное условие совместности в следующем виде
Достаточное условие совместности (непротиворечивости) системы аксиом.
Система аксиом Т совместна (или непротиворечива), если существует хотя бы одна реализация R(T) этой системы.
Доказательство. Пусть выполняется некоторое логическое следствие Т А и его отрицание Т
ùА. Тогда реализация R(T) содержит реализацию свойства А и реализацию его отрицания, что невозможно по определению самого понятия реализации.
Вывод 1.
Непротиворечивость всякой системы аксиом Т сводится к существованию хотя бы одной априорно не противоречивой реализации.
В качестве примера обратимся к трехмерной евклидовой геометрии. Так как одной из ее реализаций является арифметическая модель R3 (координатная модель), то евклидова геометрия не противоречива, если непротиворечива арифметика действительных чисел. Таким образом, вопрос о непротиворечивости евклидовой геометрии сводится к вопросу о непротиворечивости арифметики действительных чисел.
Если в качестве реализации евклидовой геометрии рассматривать окружающий нас мир, то непротиворечивость этой геометрии будет сведена к опытной проверке. Однако расширение границ опыта в конце ХІХ, начале ХХ столетия привело к открытию неевклидовых геометрий в мире электромагнитных явлений, в мире гравитации. Так возникла специальная теория относительности, которая построена на законах неевклидовой геометрии, связанной с геометрией Лобачевского.
В качестве второго примера рассмотрим планиметрию Лобачевского. Она имеет реализацию Пуанкаре L2, см. §5. В свою очередь L2 имеет арифметическую модель: {(x,y); y>0} –"точки", {(x-a)2+y2=k2 ,y>0} – "прямые", и так далее. Следовательно, вопрос о непротиворечивости планиметрии Лобачевского сводится, как и в случае евклидовой геометрии, к непротиворечивости арифметики.