Группа 3. аксиомы конгруэнтности.
Отношение конгруэнтности понимается как отношение равенства, идентичности геометрических объектов. Группы аксиом 1-3 позволяют доказать основные свойства отношения конгруэнтности между геометрическими фигурами, определить понятие движения в геометрии и установить признаки конгруэнтности геометрических фигур. Первая аксиома этой группы содержит два требования, а четвертая три.
13. Пусть дан отрезок АВ, а также прямая а/ и точка .
точка
с заданной стороны относительно точки
такая, что отрезок АВ конгруэнтен отрезку
(обозначим это
= АВ), требуется также, чтобы АВ=ВА.
14.
15. Пусть АВ и ВС – отрезки на прямой , пусть АВ
ВС=В, пусть
и
лежит между
и
.
16. Пусть Ð
есть угол с вершиной О. Для любой точки
и любого выходящего из нее луча
можно построить в заданной плоскости, инцидентной
, по любую сторону от
один и только один, второй луч
такой, что Ð
.
Требуется также, чтобы Ð
(это означает, что угол конгруэнтен самому себе) и Ð
17. Пусть даны два треугольника АВС и таких, что
,
, тогда
.
На основании аксиом конгруэнтности вводятся понятия прямого угла, смежных и вертикальных конгруэнтных углов, операции сравнения углов и отрезков. Отрезок АВ больше отрезка СD, обозначается АВ>СD, если при совмещении точек А и С и откладывании точек В и D по одну сторону от точки А на некоторой прямой, точка D будет лежать между
А и С.
В этой группе аксиом доказываются три признака конгруэнтности треугольников, свойства равнобедренных и равносторонних треугольников и т.д. Справедлива также теорема о внешнем угле треугольника в слабом варианте (известная еще Евклиду).
Теорема (о внешнем угле треугольника).
Внешний угол треугольника больше любого не смежного с ним угла треугольника.
Аксиомы 13-17 позволяют ввести операцию движения в геометрии.
Определение движения.
Взаимно-однозначное соответствие точек плоскости называется движением, если соответствующим парам точек
,
соответствуют конгруэнтные отрезки
Замечание 1.
В этой группе вместо аксиом 13-17 можно аксиоматически задать движение и некоторые его свойства. Тогда аксиомы 13-17 будут являться теоремами, которые доказываются на основании аксиом движения.
Вывод 1.
Аксиомы 1-17 первых трех групп позволяют построить геометрию, в которой на прямой существует последовательность примыкающих друг к другу конгруэнтных отрезков, пронумерованных натуральным рядом. В этой геометрии есть конгруэнтные и правильные фигуры, определено понятие движения, совмещающего конгруэнтные фигуры и т. д.
Но в этой геометрии еще нет понятия параллельного переноса, не определено соответствие между действительными числами и точками прямой, поэтому отсутствуют понятия длины отрезка, а также площади и объема геометрических фигур. Следовательно, в этой геометрии еще нет понятия расстояния и понятий «близости» и «непрерывности», связанных со свойствами расстояния между точками. Хотя абстрактные понятия близости и непрерывности уже можно вести на языке шаровых окрестностей.
Действительно, шаром В(O, OА) с центром в точке О и радиусом ОА назовем все точки М такие, что ОМ<ОА. Далее, шар В(О,ОА1) Ì B(О,ОА2), если ОА1<ОА2, таким образом, множество окрестностей точки О есть множество всех шаров В(О, ОРк ), kÎN, где Рк- любая точка пространства. Определим последовательность точек МкÎВ(О,ОРк), kÎN условиями а) и b):
а) ОР1>ОР2>…>ОРк>…, что означает, что мы имеем последовательность вложенных шаров В(О,ОР1)ÉВ(О,ОР2)É…É В(О,ОРк) É…;
b) МкÏВк+1 "кÎN , что означает, что каждая последующая точка выбирается в следующем вложенном шаре.
Вывод 2.
Используя лишь аксиомы групп I-III мы не сможем установить существование предела у последовательности М1, М2, …, Мк, … , а в случае существования этого предела мы не сможем доказать его единственность.