Работа внешних сил. Потенциальная энергия

Определим работу силы F, статически приложенной к некоторой упругой системе (рис.20, а), материал которой следует закону Гука.

Рис. 20

При малых деформациях к этой системе применим принцип независимости действия сил, следовательно, перемещения отдельных точек и сечений конструкции прямо пропорциональны вызывающей их нагрузке:

, (2.2)

где - перемещение по направлению силы F; - некоторый коэффициент, зависящий от материала, схемы и размеров сооружения. Увеличение силы F на бесконечно малую величину dF вызовет увеличение перемещения на .

Составим выражение элементарной работы внешней силы на перемещении , отбрасывая при этом бесконечно малые величины второго порядка малости: .

Заменим , используя (2.2):

.

Интегрируя это выражение в пределах полного изменения силы от нуля до ее конечного значения, получим формулу для определения работы, совершаемой статически приложенной внешней силой F:

или, с учетом(2.2):

, (2.3)

то есть работа внешней силы при статическом действии ее на любое упругое сооружение равна половине произведения значения этой силы на величину соответствующего ей перемещения.

Для обобщения полученного вывода под силой понимают любое воздействие, приложенное к упругой системе, то есть не только сосредоточенную силу, но и момент или равномерно распределенную нагрузку; под перемещением понимают тот его вид, на котором данная сила производит работу: сосредоточенной силе соответствует линейное перемещение, сосредоточенному моменту – угловое, равномерно распределенной нагрузке – площадь эпюры перемещений на участке действия нагрузки.

При статическим действии на конструкцию группы внешних сил работа этих сил равна половине суммы произведений каждой силы на величину соответствующего ей перемещения, вызванного действием всей группы сил. Например, при действии на балку (рис.20,б) сосредоточенных сил F₁, F₂ и сосредоточенных моментов М₁ и М₂ работа внешних сил:

(2.4)

Работу внешних сил на вызванных ими перемещения можно выразить и иначе – через внутренние силовые факторы (изгибающие моменты, продольные и поперечные силы), возникающие в поперечных сечениях системы.

Выделим из прямолинейного стержня двумя сечениями, перпендикулярными его оси (рис.21, а), бесконечно малый элемент dz.

Стержень состоит из бесконечно большого числа таких элементов. К каждому элементу dz в общем случае плоской задачи приложены продольная сила N_z, изгибающий момент М_х и поперечная сила Q_y.

Для выделенного элемента dz усилия N, M, Q являются внешними силами, поэтому работу можно получить как сумму работ, совершенных статически возрастающими усилиями N, M, Q на соответствующих деформациях элементов dz.

Рассмотрим элемент dz, находящийся только под действием продольных сил N (рис.21,б). Если его левое сечение считать неподвижным, то правое сечение под влиянием продольной силы переместится вправо на величину . На этом перемещении сила N совершит работу:

(2.5)

Рис. 21

Если неподвижно закрепить левое сечение элемента dz, находящегося под действием только изгибающих моментов М (рис.22,а), то взаимный угол поворота торцевых сечений элемента будет равен углу поворота его правого сечения:

.

На этом перемещении момент М совершит работу:

(2.6)

Рис. 22

Закрепим левое сечение элемента dz, находящегося под действием только поперечных сил Q (рис.22,б,в), а к правому приложим касательные усилия , равнодействующей которых является поперечная сила Q. Предположим, что касательные напряжения равномерно распределены по всей площади А поперечного сечения, то есть , тогда перемещение определяется в виде:

,

а работа силы Q на этом перемещении будет:

(2.7)

В действительности касательные напряжения распределены по площади поперечного сечения неравномерно, что учитывается введением в (2.7) поправочного коэффициента .

Суммируя (2.5) – (2.7), получим полное значение работы:

(2.8)

Интегрируя выражение в пределах длины L каждого участка всех стержней и суммируя результаты, получим:

(2.9)

Из формулы (2.9) следует, что работа внешних сил на вызванных ими перемещениях всегда положительна.

На основании закона сохранения энергии работа внешних сил переходит в потенциальную энергию деформации, то есть .

Теорема о взаимности работ

Рассмотрим два состояния упругой системы, находящейся в равновесии. В каждом из этих состояний на систему действует некоторая статическая нагрузка (рис.23,а). Обозначим перемещения по направлениям сил F₁ и F₂ через , где индекс “i” показывает направление перемещения, а индекс “j” – вызвавшую его причину.

Рис. 23

Обозначим работу нагрузки первого состояния (сила F₁) на перемещениях первого состояния через А₁₁, а работу силы F₂ на вызванных ею перемещениях – А₂₂:

.

Используя (2.9), работы А₁₁ и А₂₂ можно выразить через внутренние силовые факторы:

(2.10)

Рассмотрим случай статического нагружения той же системы (рис.23,а) в такой последовательности. Сначала к системе прикладывается статически возрастающая сила F₁ (рис.23,б); когда процесс ее статического нарастания закончен, деформация системы и действующие в ней внутренние усилия становятся такими же, как и первом состоянии (рис.23,а). Работа силы F₁ составит:

Затем на систему начинает действовать статически нарастающая сила F₂ (рис.23,б). В результате этого система получает дополнительные деформации и в ней возникают дополнительные внутренние усилия, такие же, как и во втором состоянии (рис.23,а). В процессе нарастания силы F₂ от нуля до ее конечного значения сила F₁ , оставаясь неизменной, перемещается вниз на величину дополнительного прогиба и, следовательно, совершает дополнительную работу:

Сила F₂ при этом совершает работу:

Полная работа А при последовательном нагружении системы силами F₁, F₂ равна:

(2.11)

С другой стороны, в соответствии с (2.4) полную работу можно определить в виде:

(2.12)

Приравнивая друг к другу выражения (2.11) и (2.12), получим:

(2.13)

или

А₁₂=А₂₁ (2.14)

Равенство (2.14) носит название теоремы о взаимности работ, или теоремы Бетти: работа сил первого состояния на перемещениях по их направлениям, вызванных силами второго состояния, равна работе сил второго состояния на перемещениях по их направлениям, вызванных силами первого состояния.

Опуская промежуточные выкладки, выразим работу А₁₂ через изгибающие моменты, продольные и поперечные силы, возникающие в первом и втором состояниях:

(2.15)

Каждое подинтегральное выражение в правой части этого равенства можно рассматривать как произведение внутреннего усилия, возникающего в сечении стержня от сил первого состояния, на деформацию элемента dz, вызванную силами второго состояния.