Производная функции по направлению.

Пусть функция определена в области , и функция z дифференцируема в точке , тогда .

Определение. Производной функции в точке в направлении вектора называется предел отношения приращения функции z в направлении вектора в точке к

величине , когда .

где - направляющие косинусы вектора (они же координаты единичного вектора ).

Производная функции по направлению характеризует скорость изменения функции в точке в направлении вектора .

Пример. Найти производные функции в точке в направлении вектора где .

1)

2)

3) В точке М функции возрастает в направлении вектора .

Градиент функции.

Определение. Градиентом функции в точке называется вектор с координатами равными частным производным функции z в точке и обозначается .

Градиент функции указывает направление наискорейшего роста функции, а максимальная скорость роста функции равна модулю градиента.

Скалярное произведение равно производной функции по направлению в точке . Действительно Величина в правой части принимает наибольшее значение при , т.е. когда совпадает по направлению с . В свою очередь частные производные функции и является производными функции z в направлении координатных осей OX и OY.

;

.

Экстремумы функции двух переменных. Необходимое и достаточное условия существования экстремумов.

Пусть функция определена на множестве , точка является внутренней точкой множества D (принадлежит ему вместе с некоторой окрестностью)

Определение. Точка называется точкой локального максимума (минимума) функции , если существует окрестность точки , для всех точек которой при ( ).

Точки локального максимума и локального минимума называются точками экстремума функции.

Теорема (необходимое условие экстремумов).

Если функция в точке имеет экстремум и в точке

существуют частные производные функции z, то эти частные производные

равны нулю, то есть .

Замечание. Обратное утверждение к теореме, вообще говоря, неверно. Из

того, что ещё не следует, что - точка экстремума. Это точка лишь "подозрительная" на экстремум. Такие точки называют стационарными. Экстремумы функции могут находиться либо в стационарных точках, либо в точках, где частные производные не существуют.

Теорема. (достаточное условие существование экстремума)

Пусть функция имеет непрерывные производные второго порядка в некоторой окрестности стационарной точки , тогда, если , то - точка экстремума, причем при в точке локальный минимум, при -

локальный максимум; если , то - не является точкой экстремума.

Замечание. Если , то вопрос о существовании экстремума в точке остается открытым (используются другие методы исследования).

Пример. Найти экстремумы функции

, значит в точке А экстремума нет; и , значит в точке В локальный минимум

Лекция 8. Метод наименьших квадратов.

Метод наименьших квадратов