Производная функции по направлению.
Пусть функция
определена в области
, и функция z дифференцируема в точке
, тогда
.
Определение. Производной функции в точке
в направлении вектора
называется предел отношения приращения функции z в направлении вектора
в точке
к
величине , когда
.
где
- направляющие косинусы вектора
(они же координаты единичного вектора
).
Производная функции по направлению характеризует скорость изменения функции в точке в направлении вектора
.
Пример. Найти производные функции в точке
в направлении вектора
где
.
1)
2)
3) В точке М функции возрастает в направлении вектора
.
Градиент функции.
Определение. Градиентом функции в точке
называется вектор с координатами равными частным производным функции z в точке
и обозначается
.
Градиент функции указывает направление наискорейшего роста функции, а максимальная скорость роста функции равна модулю градиента.
Скалярное произведение равно производной функции по направлению
в точке
. Действительно
Величина в правой части принимает наибольшее значение при
, т.е. когда
совпадает по направлению с
. В свою очередь частные производные функции
и
является производными функции z в направлении координатных осей OX и OY.
;
.
Экстремумы функции двух переменных. Необходимое и достаточное условия существования экстремумов.
Пусть функция определена на множестве
, точка
является внутренней точкой множества D (принадлежит ему вместе с некоторой окрестностью)
Определение. Точка называется точкой локального максимума (минимума) функции
, если существует окрестность точки
, для всех точек которой
при
(
).
Точки локального максимума и локального минимума называются точками экстремума функции.
Теорема (необходимое условие экстремумов).
Если функция в точке
имеет экстремум и в точке
существуют частные производные функции z, то эти частные производные
равны нулю, то есть .
Замечание. Обратное утверждение к теореме, вообще говоря, неверно. Из
того, что ещё не следует, что
- точка экстремума. Это точка лишь "подозрительная" на экстремум. Такие точки называют стационарными. Экстремумы функции могут находиться либо в стационарных точках, либо в точках, где частные производные не существуют.
Теорема. (достаточное условие существование экстремума)
Пусть функция имеет непрерывные производные второго порядка в некоторой окрестности стационарной точки
, тогда, если
, то
- точка экстремума, причем при
в точке
локальный минимум, при
-
локальный максимум; если , то
- не является точкой экстремума.
Замечание. Если , то вопрос о существовании экстремума в точке
остается открытым (используются другие методы исследования).
Пример. Найти экстремумы функции
, значит в точке А экстремума нет;
и
, значит в точке В локальный минимум
Лекция 8. Метод наименьших квадратов.
Метод наименьших квадратов