Аналитическая геометрия в пространстве

Прямая в пространстве.Определение прямой как геометрического места таких точек, что отрезок, соединяющий любые две из них, параллелен заданному вектору, сохраняется и для случая пространственных прямых. Единственная разница в том, что заданный вектор имеет уже три координаты , заданная точка прямой имеет три координаты , и переменная точка прямой M также имеет три координаты .

Поэтому, используя подобие соответствующих треугольников, мы вместо соотношения (1) получим двойное равенство

. (2)

Приравнивая все части (2) переменной мы получим параметрическое уравнение пространственной прямой:

Второй способ задания пространственной прямой – как геометрическое место точек пересечения двух плоскостей – мы сможем использовать после знакомства с плоскостями.

Плоскость.Простейшей из пространственных поверхностей является плоскость – геометрическое место таких точек, что отрезок, соединяющий любые две из них, перпендикулярен данному вектору, называемому нормалью к плоскости.

Зададим плоскость с данной нормалью с помощью точки с координатами , лежащей в этой плоскости.

Если взять произвольную, отличную от , точку M с координатами в данной плоскости, то согласно определению и условию взаимной перпендикулярности двух векторов имеем . Используя координаты этих векторов получим условие взаимной перпендикулярности в виде .

Последнее уравнение и есть уравнение плоскости, проходящей через данную точку. В частности, уравнения плоскостей, параллельных координатным осям имеют вид , или .

В случае, когда какой-то из коэффициентов уравнения плоскости отличен от нуля, можно выразить соответствующую координату через две другие координаты, например, при . Такое уравнение может считаться параметрическим заданием плоскости, где в качестве двух независимых параметров выступают две из координат, а третья линейно выражается через два параметра.

Плоскость в пространстве может задаваться не только нормалью и одной точкой, но и тремя различными точками, с координатами , и , через которые она проходит.

Рассматривая три вектора, лежащие в одной плоскости, получим в соответствии со свойством смешанного произведения соотношение . Если раскрыть определитель по способу, указанному выше, получим линейную комбинацию разностей , и , то есть линейное уравнение относительно координат переменной точки плоскости и .

Любая плоскость в пространстве XYZ представляется линейным уравнением вида . И наоборот, любое линейное уравнение задает плоскость.

Взаимное расположение прямой и плоскости.Рассмотрим прямую

, и плоскость . Прямая может 1) лежать в плоскости, 2) быть параллельной плоскости, то есть не пересекать плоскость, 3) пересекать плоскость в единственной точке.

В случае 1) направляющий вектор прямой и нормаль к плоскости взаимно перпендикулярны, то есть, , и существует общая точка у прямой и плоскости (существование одной такой точки обеспечивает принадлежность всех точек прямой данной плоскости);

в случае 2) и на прямой существует точка, не лежащая в плоскости (существование такой точки обеспечивает то, что все точки прямой не принадлежат данной плоскости);

в случае 3) .