Кратные интегралы: определение, условия существования, основные свойства. Сведение к повторному интегралу
Кратные интегралы: определение, условия существования, основные свойства. Сведение к повторному интегралу
Пусть z=f(x,y) – непрерывно дифференцируемая и положительная функция двух переменных, определенная на ограниченном подмножестве (S) плоскости . Если существует предел
независимо от выбора точек и независимо от разбиения множества (S) на элементарные части, то он называется двойным интегралом функции и обозначается
.
Пусть дано некоторое тело (V) в трехмерном пространстве . Предположим, что известна плотность
(x,y,z) распределения массы в каждой точке M(x,y,z) тела (V). Требуется определить всю массу тела. Если существует предел
независимо от выбора точек (
и независимо от разбиения множества (V) на элементарные части, то он называется тройным интегралом функции f(x,y,z) по множеству (V).
Свойства
Теорема 1: справедливо равенство
Теорема 2: пусть функции f(x,y) и ϕ(x,y) определены на одном и том же множестве (S) плоскости и на этом множестве не имеют двойные интегралы. Тогда справедлива формула
, где А и В постоянные числа.
Теорема 3: пусть функция f(x,y) определена на квадратируемом подмножестве (S) плоскости . Предположим, что множество (S) некоторой кусочно-гладкой кривой разложено на два квадрируемые подмножества (S’) и (S’’). Тогда из существования двойного интеграла функции f(x,y) по области (S) следует существования двойных интегралов этой функции в обоих областях (S’) и (S’’), и обратно. При этом имеет место разложение
Теорема 4: пусть f(x,y) для всех (x,y)
и существуют двойные интегралы функции f(x,y) и
. Тогда справедливо равенство
Теорема 5: справедлива формула
Теорема 6: (теорема о среднем) пусть функция двух переменных z=f(x,y) определена и интегрируема на замкнутом множетсве (S)с . Тогда существует такая точка (ξ,η)
(S), что
Теорема 7: всякая непрерывная в области (S) функция z=f(x,y) интегрируема.
Теорема 8: если функция z=f(x,y) ограничена и имеет разрывы только лишь на конечном числе гладких кривых области (S), то она интегрируема.
Приведение двойного интеграла к повторному
Пусть функция двух переменных z=f(x,y) определена на прямоугольнике , т.е. на множестве точек (x,y)
, которые удовлетворяют условию
где a<b, c<d
Теорема: пусть для функции существует двойной интеграл и также при каждом фиксированном x
существует обычный интеграл I=
. Тогда существует повторный интеграл
Работа плоского поля: формула Грина как частный случай теоремы Остроградского-Гаусса.
Пусть P(x,y) и Q(x,y) гладкие в области D, а Г – контур в области D, ограниченный под областью D. Тогда:
Формула Грина является частным случаем теоремы Остроградского-Гаусса, когда поверхность является плоской.
Кратные интегралы: определение, условия существования, основные свойства. Сведение к повторному интегралу
Пусть z=f(x,y) – непрерывно дифференцируемая и положительная функция двух переменных, определенная на ограниченном подмножестве (S) плоскости . Если существует предел
независимо от выбора точек и независимо от разбиения множества (S) на элементарные части, то он называется двойным интегралом функции и обозначается
.
Пусть дано некоторое тело (V) в трехмерном пространстве . Предположим, что известна плотность
(x,y,z) распределения массы в каждой точке M(x,y,z) тела (V). Требуется определить всю массу тела. Если существует предел
независимо от выбора точек (
и независимо от разбиения множества (V) на элементарные части, то он называется тройным интегралом функции f(x,y,z) по множеству (V).
Свойства
Теорема 1: справедливо равенство
Теорема 2: пусть функции f(x,y) и ϕ(x,y) определены на одном и том же множестве (S) плоскости и на этом множестве не имеют двойные интегралы. Тогда справедлива формула
, где А и В постоянные числа.
Теорема 3: пусть функция f(x,y) определена на квадратируемом подмножестве (S) плоскости . Предположим, что множество (S) некоторой кусочно-гладкой кривой разложено на два квадрируемые подмножества (S’) и (S’’). Тогда из существования двойного интеграла функции f(x,y) по области (S) следует существования двойных интегралов этой функции в обоих областях (S’) и (S’’), и обратно. При этом имеет место разложение
Теорема 4: пусть f(x,y) для всех (x,y)
и существуют двойные интегралы функции f(x,y) и
. Тогда справедливо равенство
Теорема 5: справедлива формула
Теорема 6: (теорема о среднем) пусть функция двух переменных z=f(x,y) определена и интегрируема на замкнутом множетсве (S)с . Тогда существует такая точка (ξ,η)
(S), что
Теорема 7: всякая непрерывная в области (S) функция z=f(x,y) интегрируема.
Теорема 8: если функция z=f(x,y) ограничена и имеет разрывы только лишь на конечном числе гладких кривых области (S), то она интегрируема.
Приведение двойного интеграла к повторному
Пусть функция двух переменных z=f(x,y) определена на прямоугольнике , т.е. на множестве точек (x,y)
, которые удовлетворяют условию
где a<b, c<d
Теорема: пусть для функции существует двойной интеграл и также при каждом фиксированном x
существует обычный интеграл I=
. Тогда существует повторный интеграл