Напряжения и деформации при кручении

Рассмотрим кручение круглого бруса.

К круглому брycy, жестко заделанному в стену, на свободном торце приложен скручивающий момент М. В результате этого брус деформируется: смежные сечения поворачиваются относительно друг друга, образующая ОВ искривляется и занимает положение ОС.

При описании кручения принимаются следующие допущения и правила:

· ось бруса не деформируется;

· поперечные сечения, плоские до деформации, после деформации также остаются плоскими;

· продольные волокна не изменяют своей длины (угол γ настолько мал, что изменением длины можно пренебречь);

· радиусы r поперечных сечений остаются прямыми после деформации, поворачиваясь на некоторый угол φ,называемый углом закручивания, [рад];

· Существует понятие относительного угла закручивания : φ_о = φ / l, [рад/м] ,

где l – длина бруса.

Таким образом, при кручении в поперечном сечении бруса возникают только касательные напряжения τ.

· Касательные напряжения τпри кручении распределяются по се­чению неравномерно: в центре они равны нулю, а на максимальной окружности поперечно­го сечения - максимальному зна­чению τ_mах. Поэтому расчет ве­дется по τ_mах.

Значение касатель­ного напряжения в любой точке бруса зависит от внутреннего крутящего момента и геометрической характеристики по­перечного сечения: τ = М_к ρ / I_р ,

где ρ –расстояние от данной точки до оси кручения,

J_p – полярный момент инер­ции сечения ( геометрическая характеристика сечения бруса, характеризующая жесткость бруса при кручении).

Полярный момент инерции для сплошного круглого бруса мм⁴

При ρ = r напряжения достигнут максимального значения:

где W_p = I_P / r— момент сопротивления кручению (или полярный момент сопротивления), характеризует прочность бруса при кручении с геометрической стороны.

Единица момента сопротивления кручению [W_p ]= [I_P] / [r] = мм³

τ_mах = М_кmах / W_p,

Определим момент сопротивления кручению для круглого сечения диаметром d:

· Деформации (φ - углы закручивания, рад)при кручении круглого цилиндра вычисляют по формуле: φ = М_к l / ( GI_p ), где

где I_p — полярный момент инерции сечения;

G — модуль упругости при сдвиге; l – длина участка бруса.

· Построение эпюр. При кручении строят эпюры внутренних силовых факторов (крутящих моментов) и перемещений (углов закручивания φ).

Расчетные формулы на прочность и жесткость при кручении

Условие прочностивала при кручении заключается в том, что наибольшее возникающее в нем касательное напряжение не должно превышать допускаемое.

Расчетная формула на прочность при кручении имеет вид: t = М_К/W_Р £ [t_к]

Кроме прочности к валам предъявляется требование жесткости,заключающееся в том, что угол закручивания 1метра длины вала не должен превышать определенной величины во избежание, например, пружинения валов. Расчетная формула на жесткость при кручении имеет вид: φ_о = М_к /( GI_p )≤ [φ_о],

где [φ_о]-допускаемый относительный угол закручивания.

Величины допускаемых углов закручивания зависят от назначения вала; их обычно принимают: [φ_о]º = 0,25...1 град/м.