Основы математики и ее приложения

в экономическом образовании

Главный редактор Ю.В. Луизо. Зав редакцией Г.Г Кобякова Редактор Н.А Леонтьева. Художник Н.Н. Сенько. Компьютерная подготовка оригинал-макета Д.С. Теляковский, А.В. Крымский. Технический редактор Л.А. Зотова. Корректоры Ф.Н. Морозова, А.П Калинина.

ЛР № 064377 от 04.01.96 г.

Гигиеническое заключение № 77. 99. 1. 953. П. 232. 12.98 от 10.12.98 г.

Подписано и печать 27.11.2000 Формат 60 х 90¹/₁₆. Бумага офсетная. Гарнитура Таймс. Печать офсетная. Усл. печ. л. 43,0 Тираж 5000 экз. Заказ № 520. Изд. № 215.

Издательство "Дело"

117571, Mocква, пр-т Вернадского, 82

Коммерческий отдел — meл. 433-2510, 433-2502

E-mail: delo@ane. ru

Internet hitp //www.delo.ane.ru

Отпечатано в Московской типографии № 6 Министерства Российской Федерации по делам печати, телерадиовещания н средств массовых коммуникаций

109088. Москва, Ж-88Южнопортовая ул., 24

ISBN 5-7749-0186-6

© М.С. Красс, Б П. Чупрынов, 2000

© Издательство «Дело», оформление, 2001

Внукам нашим посвящаем:

Загалову Антону, Сергееву

Степану, Чикунову Дмитрию,

Чупрыновой Виктории

ПРЕДИСЛОВИЕ

Это учебное пособие написано на основе лекций, читаемых авторами в течение ряда лет в экономических вузах Москвы и Самары.

В книге изложены необходимые основы математического аппарата и примеры его использования в современных эконо­мических приложениях: математический анализ функций од­ной и нескольких переменных, элементы линейной алгебры, ос­новы теории вероятностей и математической статистики, эле­менты линейного программирования и оптимального управ­ления. Именно такой объем знаний актуален сегодня для лиц, получающих образование по экономическим специальностям (в том числе и второе образование), и соответствует требованиям государственных образовательных стандартов по экономичес­ким дисциплинам.

Изложение материала проведено почти без доказательств — основной упор сделан на приобретение навыков использова­ния математического аппарата. Каждый раздел сопровожда­ется решением большого числа характерных задач и соответ­ствующих экономических приложений, сложность которых по­степенно возрастает от раздела к разделу. Приложения, пред­ставляющие в экономике самостоятельный интерес, выделены в специальные разделы. Книга содержит также обширную под­борку задач и упражнений, оформленную в виде практикума с разделами по каждой теме.

Предлагаемое учебное пособие может успешно использоваться при изучении высшей математики и ее экономических приложений в высших и средних учебных заведениях, осущест­вляющих экономическое образование с широким спектром требований. Эта книга будет весьма полезной и востребованной при подготовке студентов и слушателей заочного и дистанци­онного обучения, при комплектовании контрольных заданий можно использовать практикум.

Благодаря обширному материалу и большому числу раз­обранных задач и экономических приложений предлагаемая книга может служить справочным пособием для специалистов, работающих в различных областях экономики.

ВВЕДЕНИЕ

Математика — одна из самых древних наук. Она появилась из насущных нужд человека, когда возникла потребность в количественном отображении окружающего его мира.

Статус самостоятельной науки математика приобрела в Древней Греции примерно в VI в. до н. э. Все философские школы того времени включали математику в круг вопросов миросозерцания; строгий язык формальной логики (именно он стал языком математики) формировал уровень и строй мышления. В III в. до н. э. математика выделилась из философии, что отражено в "Началах" — эпохальном труде, прославившем в веках имя Евклида и заложившем фундамент классической геометрии. Более двух тысяч лет математику изучали по этой книге.

Много веков после этого математика практически не эво­люционировала, XVII век стал эпохой ее бурного развития. Применение математики Галилеем и Кеплером в исследова­нии движения небесных тел привело к поразительным по тому времени открытиям — законам движения планет вокруг Солнца. Труды Декарта, Ньютона и Лейбница ознаменовали новый этап развития математики — появление математики перемен­ных величин. Начинается период дифференциации единой нау­ки на ряд самостоятельных математических наук: алгебру, ма­тематический анализ, аналитическую геометрию. В свою оче­редь это инициировало интенсивное развитие физики и астро­номии.

Имена русских ученыхзанимают достойное место в исто­рии развития математики: Н.И. Лобачевский (1792 — 1856), М.В. Остроградский (1801 — 1861), П. Л. Чебышев (1821 — 1894), А.А. Марков (1856 — 1922) и другие. Достижения современной математики во многом обусловлены трудами из­вестных российских ученых: В. И. Арнольда, С. Н. Бернштейна, Л. В. Канторовича, А. Н. Колмогорова, И. Г. Петровского, Л. С. Понтрягина, Ю. В. Прохорова, А. Н. Тихонова и многих других.

Современная математика характеризуется интенсивным проникновением в другие науки, во многом этот процесс про­исходит благодаря разделению математики на ряд самостоя­тельных областей. Язык математики оказался универсальным, и это есть объективное отражение универсальности законов окружающего нас многообразного мира.

Экономика как наука об объективных причинах функцио­нирования и развития общества еще со времен Адама Смита пользуется разнообразными количественными характеристи­ками, а потому вобрала в себя большое число математичес­ких методов. Современная экономика использует специальные методы оптимизации, составляющие основу математического программирования, теории игр, сетевого планирования, тео­рии массового обслуживания и других прикладных наук.

Изучение математических дисциплин и их экономических приложений, составляющих основу актуальной экономической математики, позволит будущему специалисту не только при­обрести необходимые базовые навыки, используемые в эконо­мике, но и сформировать компоненты своего мышления: уро­вень, кругозор и культуру. Все это понадобится для успешной работы и для ориентации в будущей профессиональной дея­тельности.

Раздел I. ОСНОВЫ МАТЕМАТИКИ