Произведение случайных величин

Определение.Произведением случайных величин Х иYназывается случайная величина XY, возможные значения которой равны произведениям каждого возможного значения Х на каждое возможное значение Y;а вероятности возможных значений произведения XY равны произведениям вероятностей одного сомножителя на условную вероятность другого:

(11.4.4)

Если величины Х иYнезависимы, то равенство (10.4.1) примет вид:

(11.4.5)

Например, если независимые случайные величины Х и Y заданы рядами распределения:

Х	х1	(11.4.6) (10.4.3) х2
р	р1	р2

Y	у1	у2
g	g1	g2

(11.4.7)

то их произведение будет иметь такой ряд:

ХY	х1у1	х1у2	x2у1	(11.4.8) (10.4.7) х2у2
s

Некоторые произведения могут оказаться равными между собой. В этом случае одинаковые возможные значения произведения записываются в таблицу один раз, а их вероятности складываются.

Например, если х₁у₂=x₂у₁, то таблица (11.4.8) тождественна таблице

ХY	х1у1	х1у2	(11.4.9) (10.4.8) х2у2
s

Пример 1(первый пример с двумя монетами).

Бросаются две монеты. На одной стороне каждой монеты наклеена цифра 1, на другой стороне - цифра 2. Найти ряд распределения произведения случайных величин Х и где Х – число очков, выпавшее на первой монете, Y- число очков, выпавшее на второй монете. Найти математическое ожидание случайных величин X,YиXY.

Решение. Ряды распределения случайных величин X и Y имеют вид:

Х				Y
р	1/2	1/2		g	1/2	1/2

MX=MY=1×1/2+2×1/2=3/2.

Ряд распределения произведения:

XY
s	1/4	1/4+1/4=1/2	1/4

Математическое ожидание произведения

M(XY)=1×1/4+2×1/2+4×1/4=1/4+1+1=9/4.

Т.е. в среднем произведение числа очков, выпавших на двух монетах, будет равно .

Теорема 1. Произведение случайной величины Х, распределённой по закону (*), на постоянную случайную величину С, имеет ряд распределения:

СХ	Сх1	Сх2	…………	(**) Схn
s	p1	p2	…………	pn

То есть при умножении каждого возможного значения на одно и то же число вероятности остаются прежними.

Теорема 2.Если случайная величина Х распределена по закону (*), то величина Х² имеет ряд распределения

Х2	(х1)2	(х2)2	…………	(***) (хn)2
p	p1	p2	…………	pn

То есть возведение возможного значения в квадрат не изменяет вероятностей.

Пример 3.Случайная величина Х имеет закон распределения, заданный таблицей 1. Найти распределение величины Х². Согласно теореме 2, распределение Х² задается таблицей 2. Заметим, что в таблице 2 случайная величина принимает одинаковые значения, равные 25, поэтому таблицу 2 можно переписать в виде 3, т.к. для одинаковых возможных значений вероятности складываются. Как видим, получилась постоянная случайная величина.

	1. Х -5 2. Х2 3. Х2 р 0,3 0,7 р 0,3 0,7 р

Замечание. Аналогично двум случайным величинам определяется произведение любого количества случайных величин.

Сумма случайных величин

Определение.Суммой двух дискретных случайных величин Х и Y называется случайная величина X+Y, возможные значения которой равны суммам каждого возможного значения Х с каждым возможным значением Y; а вероятности возможных значений суммы X+Y равны произведениям вероятностей возможных значений слагаемых, для зависимых величин - произведениям вероятности одного слагаемого на условную вероятность другого, т.е.

(11.4.11)

Если величины Х и Y независимы, то условные вероятности становятся безусловными. В этом случае равенство (11.4.4) примет вид:

(11.4.12)

Таким образом, вероятности суммы задаются так же, как вероятности произведения случайных величин.

Например, если вероятность возможного значения х₁ равна р₁, а вероятность возможного значения у₁ равна g₁, то вероятность возможного значения х₁+у₁ равна Чтобы составить сумму , должны произойти события и , поэтому вероятности перемножаются.

Например, если независимые случайные величины Х и Y заданы рядами распределения:

Х	х1	(11.4.13) х2
р	р1	р2

Y	у1	у2
g	g1	g2

(11.4.14)

то их произведение будет иметь такой ряд:

Х+Y	х1+у1	х1+у2	x2+у1	(11.4.15) (10.4.7) х2+у2
h

Некоторые суммы могут оказаться равными между собой. В этом случае вероятность возможного значения суммы равна сумме соответствующих вероятностей. Например, если , то вероятность (или, что то же, ) равна

Замечание.Аналогично определяется сумма более двух случайных величин.

Пример(второй пример с двумя монетами).

Бросаются две монеты. На одной стороне каждой монеты наклеена цифра 1, на другой стороне - цифра 2. Найти ряд распределения суммы случайных величин Х и где Х – число очков, выпавшее на первой монете, Y- число очков, выпавшее на второй монете. Найти математическое ожидание случайных величин X,YиX+Y.

Решение.Ряды распределения случайных величин X и Y имеют вид:

Х				Y
р	1/2	1/2		g	1/2	1/2

MX=MY=1×1/2+2×1/2=3/2.

Ряд распределения суммы:

X+Y
h	1/4	1/4+1/4=1/2	1/4

Математическое ожидание суммы

M(X+Y)=2×1/4+3×1/2+4×1/4=1/2+3/2+1=3.

Т.е. в среднем число очков, выпавших на двух монетах, будет равно 3.

Теорема 3.Если случайная величина Х распределена по закону (*), то случайная величина Х+С, где С – постоянная величина, имеет распределение:

Х+С	х1+С	х2+С	………	хn+С
p	p1	p2	………	pn

т.е. прибавление постоянной случайной величины не изменяет вероятностей.

Разность случайных величин

Разность случайных величин определяется аналогично сумме. Приведём соответствующую таблицу для величин, имеющих ряды распределения (11.4.15):

Х-Y	х1-у1	х1-у2	x2-у1	(11.4.16) (10.4.7) х2-у2
h

Пример(третий пример с двумя монетами).

Бросаются две монеты. На одной стороне каждой монеты наклеена цифра 1, на другой стороне - цифра 2. Найти ряд распределения разности случайных величин Х и где Х – число очков, выпавшее на первой монете, Y- число очков, выпавшее на второй монете. Найти математическое ожидание случайных величин X,YиX–Y.

Решение. Ряд распределения разности:

X–Y	-1
h	1/4	1/4+1/4	1/4

Математическое ожидание разности

M(X–Y)= –1×1/4+0×1/2+1×1/4=0.