При делении числа на произведение можно разделить это число сначала на один множитель, а затем полученный результат разделить на второй множитель.

Например:240 : 30 = 240 : (3 • 10) = (240 :10): 3 = 24 : 3 = 8

2700 : 900 = 2700 : (9 • 100) = 2700 : 100 : 9 = 27 : 9 = 3

В основе письменного деления на разрядные числа лежит общий алгоритм деления на однозначное число. При ознакомлении с делением на двузначное число сначала рассматривают случаи, когда в частном получается одна цифра.

Например: Эту цифру частного находят приемом подбора с последующей проверкой.

Два приема подбора цифры частного:

1) Прием ориентировки на таблицу умножения однозначных чисел.

В этом случае ориентируются на последнюю цифру делителя, подбирая такую цифру частного, чтобы при умножении на нее получался результат, совпадающий с последней цифрой делимого.

Например, 384:96

В таблице умножения числа 6 только множитель 4 дает в результате умножения число, оканчивающееся на 4: 6 • 4 = 24. Проверка цифры 4 в качестве пробной цифры частного дает делимое: 96 • 4 = 384. Следовательно 384 : 96 = 4.

2) Прием замены делителя ближайшим разрядным числом.

В этом случае делитель заменяется на ближайшее разрядное число (в данном случае вместо 96 можно брать 90). В отношении разрядного числа легче найти пробную цифру частного. В данном случае деление 38 дес. на 9 дес. дает пробную цифру частного — 4. Затем ее проверяют, умножая на нее делитель. Цифра может подойти, а может и не подойти, поскольку ближайшее разрядное чис­ло берут не по правилу округления, а по принципу отбрасывания единиц. В этом случае проводится коррекция и уточненная цифра частного записывается в ответ.

Эти же приемы облегчения поиска пробной цифры частного можно использовать при делении на трехзначное число.

Например:738 : 246

Заменим число 246 ближайшим разрядным числом — это 200. 200 это 2 сот. Разделим 7 сот. на 2 сот. В частном можно пробовать цифру 3. Проверим эту пробную цифру: умножим 246 на 3, получим 738. Значит 738 : 246 = 3

Прием замены делителя на ближайшее разрядное число часто приводит к тому, что первая подобранная таким путем цифра частного не подходит и ее нужно изменять. Это происходит потому, что замена происходит не по правилам округления, а простым отбрасыванием единиц делителя.

Например: Заменим 47 на ближайшее разрядное число — это 40, т. е. 40 — это 4 дес. Разделим 28 дес. на 4 дес., получим 7 — это пробная циф­ра частного.

Проверяем, подходит ли цифра 7: 47 • 7 = 329 — это больше, чем 282, значит, в частном должно быть меньше, чем 7.

Проверяем, подходит ли цифра 6 : 47 • 6 = 282. Значит, 282 : 47 = 6.

Использование первого из обозначенных приемов в сочетании с приемом замены делителя на ближайшее разрядное число позволит уменьшить затраты сил и времени на поиски пробных цифр частного.

Использование общего приема округления делителя также позволит быстрее и точнее искать пробную цифру частного. В частности, в данном случае по правилам округления следовало округлять 47 до 50, а значит первая пробная цифра частного — это 6 : 50 • 6 = 300 > 282, но округление произведено с увеличением, а результат близок к делимому, значит можно пробовать 6 в качестве цифры частного.

Случаи, требующие нескольких прикидок по цифрам частного

Случай, когда при первой пробе получается число 10.

Например: В частном одна цифра. Прием округления, как и прием замены делителя на ближайшее разрядное число, дает в качестве делителя число 100. Первая пробная цифра частного в этом случае получается 10. Но число 10 содержит две цифры, поэтому оно не подходит.

Пробуем в качестве цифры частного 9. Проверяем: 127 • 9 = 1143 > > 1016, значит, цифра 9 не подходит.

Пробуем 8 :127 • 8= 1016. Значит 1016 : 127 = 8.

Случай, когда в частном получается не одна цифра, проще ориентироваться при подборе пробной цифры частного на первые цифры делимого и делителя.

Например: Первое неполное делимое — 818 десятков, значит, в частном будет две цифры — десятки и единицы.

Первая цифра делимого 8, первая цифра делителя 3, делим 8:3, можно взять по 2. Проверяем первую пробную цифру частного 341 • 2 = 682. Находим остаток 818 - 682 = 136 < 341, значит, цифра 2 подходит.

Второе неполное делимое 1364, первая цифра 1, но она на 3 не разделится. Значит, делим 13 на 3. Можно взять по 4. Проверяем вторую пробную цифру частного 341 • 4 = 1364. Значит, 4 подходит. Деление закончено.

Ответ 24. Пробная цифра частного проверяется устно, и в этом основная трудность деления на двузначное и трехзначное число.

Письменные алгоритмы умножения и деления на двузначное и трехзначное число дети изучают в конце 4 класса.

№ 9 УМНОЖЕНИЕ НА ЧИСЛА, ОКАНЧИВАЮЩИЕСЯ НУЛЯМИ. Рассмотрим приемы:

а) Прием умножения на разрядные числа:10, 100, 1000,– это связано со знанием нумерации чисел.

Вводятся подготовительные упражнения на замену круглых десятков (сотен) произведением однозначного числа и 10 (100), например: 70=7· 10, 600=6· 100.

Сначала рассматриваются устные приемы умножения на круглые десятки и сотни. Например 15*30; представим число 30 в виде произведения удобных множителей 3 и 10. Получим: 15· 30=15· (3· 10). Здесь удобнее умножить число на первый множитель — на 3, и полученный результат умножить на второй множитель — на 10. Вычислим: 15· 3=45, 45· 10 = 450. Произведение 450. Получается запись: 15· 30= 15· (3· 10) = (15· 3) · 10=450.

Учащиеся путают умножение на круглые десятки с умножением на двузначное число, и правило умножения числа на произведение с правилом умножения числа на сумму (ошибка вида 15*12=300 Ученик умножает 15 на 2 и полученный результат умножает на 10, т. е. он очевидно заменил число 12 суммой разрядных слагаемых 10+2, а далее умножал как на произведение чисел 10 и 2, т. е. на число 20). Аналогичная ошибка встречается в упражнениях на сравнение выражений: 27· 7· 10=27· 7 + 27· 10.

Для предупреждения ошибок выполняют упражнения на сравнение соответствующих приемов вычислений:

6*50=6·* (5·* 10) =6·* 5·* 10=300,

6·* 15=6* (10 + 5) =6* 10 + 6* 5=90

В первом примере второй множитель (50) заменили произведением удобных множителей. (5 и 10) и использовали правило умножения числа на произведение: умножили число 6 на первый множитель и полученное произведение умножили на второй множитель. Во втором примере множитель 15 заменили суммой разрядных слагаемых 10 и 5 и использовали правило умножения числа на сумму; умножили число 6 на первое слагаемое, потом умножили число 6 на второе слагаемое и полученные результаты сложили.

Ученики III класса путают свойства различных действий,: (6+3) · 2 = 6· 2 + 3=6+3· 2; (14 +12)+5= (14 + 5)+ (12 + 5). Путают правило прибавления числа к сумме и умножения суммы на число. В целях предупреждения ошибок в течение всего учебного года уделяют больше внимания сравнению свойств арифметических действий, изученных в I—III классах.

б) Письменное умножение на круглые десятки и сотни

546· 30 = 546· (3· 10) =546· 3· 10.

4

Число 546 сначала умножим на 3 и полученный результат умножаем на 10. Умножаем 546 на 3; трижды шесть—18, восемь пишем, 1 запоминаем; трижды четыре—12, да 1, получится 13, три пишем, 1 запоминаем; трижды пять—15, да 1, получится 16, записываем 16, получаем 1638. Умножаем 1638 на 10, для этого приписываем к полученному числу справа один нуль. Произведение 16380.

в) Умножение на круглые сотни и тысячи выполняется аналогично умножению на круглые десятки. Особого внимания заслуживают случаи, в которых оба множителя оканчиваются нулями, например: 20·30, 400·50, 800·70, 4000·60 и т. д. При решении таких примеров учащиеся рассуждают следующим образом: чтобы умножить 300 на 50, надо 3 сотни умножить на 5, а затем полученное число умножить на 10, будет 150 сотен, или 15000. Такие примеры записываются в строчку и решаются устно.

Аналогичным образом рассуждают ученики и при письменном умножении в том случае, когда оба множителя оканчиваются нулями.

Записывать такие примеры в столбик удобнее следующим образом:

Выполняя умножение, ученики замечают, что сначала они умножили, например, число 78 или 367 на однозначное, а затем к полученному произведению приписывают столько нулей, сколько их на конце множителей. На основе этого учащиеся формулируют правило: «Если множители оканчиваются нулями, производят умножение, не обращая внимания на эти нули, а затем приписывают к произведению столько нулей, сколько их на конце обоих множителей вместе».

№ 11 ПИСЬМЕННОЕ ДЕЛЕНИЕ НА ОДНОЗНАЧНОЕ ЧИСЛО

Прием письменного деления включает операции:

- замену делимого суммой удобных слагаемых (это чаще называют выделением неполных делимых),

-деление на делитель каждого слагаемого (неполного делимого),

-сложение полученных частных.

Письменное деление всегда начинают с высших разрядов, в отличие от письменного умножения.

Этапы формирования письменного алгоритма деления:

1-й этап: рассматриваются случаи вида 794 : 2; 984 : 4 — первое неполное делимое однозначное;

2-й этап: рассматриваются случаи вида 376 : 4; 198 : 6 — первое неполное делимое двузначное;

3-й этап: рассматриваются случаи с нулями в частном (на конце или в середине);

4-й этап: рассматривается деление чисел, оканчивающихся нулями.

Описание процесса деления «в столбик», пошагово оговаривающее каждое умственное действие по выполнению подбора и проверки цифр частного, нахождения количества разделенных разрядных единиц, нахождения остатка.

Например:Общий алгоритм деления

1. Делю сотни: 7 сот. делю на 2, можно взять по 3 сот. В частном будет 3 сот.

Проверяю, сколько сотен разделилось: 3 сот. -2 = 6 сот. Нахожу остаток от деления сотен: 7 сот. - 6 сот. = 1 сот.

2. Делю десятки: 1 сот. = 10 дес. и еще 4 дес. — это 14 дес. 14 дес.делю на 2 — можно взять по 7. Записываю в частном 7 в разряде десятков. 7 дес. • 2 = 14 дес. Нахожу остаток: 14 дес. - 14 дес. = 0.Десятки разделились все.

3. Делю единицы — единиц 8. 8 делю на 2, можно взять по 4. Проверяю: 4 • 2 = 8. Пишу в частном 4 в разряде единиц. Единицы разделились все: 8-8 = 0. Остатка нет. Деление закончено.

Ответ: 374.

При делении вида ход рассуждений аналогичен, только первое неполное делимое — 45 десятков, поскольку 4 сотни нельзя разделить на 8 так, чтобы получить в частном сотни. Таким образом, первая значащая цифра частного в этом случае будет цифрой десятков.

Приём подбора цифр частного заключается в определении цифр в записи частного. Для этого нужно выделить первое неполное делимое и определить его десятичный состав, который и позволяет определить количество цифр частного.

Например: В случае деления 748 : 2 первое неполное делимое — 7 сотен, поскольку 7 сотен можно разделить на 2 так, чтобы в частном получились сотни. Следовательно, первой значащей цифрой частного будет цифра сотен, тогда в частном будет три цифры (сотни, десятки и единицы).

Во втором случае деления 456 : 8 первое неполное делимое — 45 десятков, следовательно первой значащей цифрой частного будет цифра десятков, тогда в частном будет две цифры (десятки и единицы).

При делении вида первое неполное делимое — 45 десятков, следовательно первой значащей цифрой частного будет цифра десятков, тогда в частном будет две цифры (десятки и единицы).

Применение этого прием при выполнении деления, приводящего к случаям получения нулей в частном.

Первое неполное делимое 56 сотен (поскольку 5 тысяч нельзя разделить на 8 так, чтобы получить в частном тысячи), значит, первой цифрой частного будет цифра сотен. Следовательно, в частном будет три цифры (сотни, десятки и единицы). Данное рассуждение полезно отметить постановкой соответствующего количества точек в частном. Это предупредит распространенную в таких случаях ошибку — потерю цифры частного. При объяснении получения нуля в частном следует в речевом сопровождении компенсировать условность сокращенной записи деления в столбик: 4 десятка нельзя разделить на 8 так, чтобы в частном получились целые десятки, поэтому в разряде десятков частного ставим 0. 4 десятка — это 40 единиц, да еще 8 единиц — делим 48 на 8...

При делении чисел, оканчивающихся нулями, следует постоянно применять прием «прикидки» цифр частного, это поможет ребенку не терять нули в конце деления.

Например:Прием подбора цифр частного поможет ребенку при выполнении деления вида: