Определители II и III порядка. Их вычисление.

Любые 4 числа, расположенные в виде квадратной таблицы, называются квадратной матрицей второго порядка. Каждой квадратной матрице 2-ого порядка можно поставить в соответствие число, называемое её определителем и обозначаемое D=|A|.

Определитель матр. 2-го порядка равен числу

a₁₁· a₂₂-a₂₁·a₁₂

Решение систем линейных уравнений методом Крамера.

Теорема Крамера

Данный метод также применим только в случае систем линейных уравнений, где число переменных совпадает с числом уравнений. Кроме того, необходимо ввести ограничения на коэффициенты системы. Необходимо, чтобы все уравнения были линейно независимы, т.е. ни одно уравнение не являлось бы линейной комбинацией остальных.Для этого необходимо, чтобы определитель матрицы системы не равнялся 0.

Система из n уравнений с n неизвестными в случае, если определитель матрицы системы не равен нулю, имеет единственное решение и это решение находится по формулам:x_i = D_i/D, где D = опред. Матр., а D_i – определитель матрицы, получаемой из матрицы системы заменой столбца i столбцом свободных членов

Если система однородна, т.е. b_i = 0, то при D¹0 система имеет единственное нулевое решение x₁ = x₂ = … = x_n = 0.При D = 0 система имеет бесконечное множество решений.

Матрицы и их виды.

Ма́трица — математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы элементов кольца или поля (например, целых, действительных или комплексных чисел), которая представляет собой совокупность строк и столбцов, на пересечении которых находятся её элементы.

Транспонированная матрица

A= A^T=

Диагональная матрица

Единичная матрица

Матрица при * на которую любая матрица остаётся неизменной .Диагональная матрица с 1 диагональными элементами.

Е=

Нулевая матрица

Матрица все элементы которой нули.

Матричный метод решения систем линейных уравнений.

Рассмотрим систему n линейных уравнений с n неизвестными.

Рассмотрим 3 матрицы, связанный одной системой

Матрица А составленная из коэф. При неизв.

a₁₁ a₁₂ … a_1n

A = a₂₁ a₂₂ … a_2n

a_n1 a_n2 … a_nn

Заметим, что левую часть системы можно

Получить как произведение матриц

Используя понятия равенства

матриц, систему моно

А· x = запис. В виде А*х=В (1)

Уравнение (1) называют

Матричным уравнением, если

Определитель матрицы А отл.

От нуля, то сущ. Матр. А^-1

Обратная от матрицы А.

Умножим обе части уравн.(1)

Слева на А^-1 получим:

А^-1 *А*х= А^-1 *В; А^-1 *А*х=Е.

Е*х= А^-1 *В; Е*х=х

Х= А^-1 *В

Если матричное уравнение имеет вид х*А=В, то его решение можно легко найти по форм. Х= А^-1 *В

Действия над матрицами (сложение, вычитание, умножение на число).

+: C_ij=a_ij+b_ij

--:такое же, что и +

* на скаляр: каждый элемент матрицы на этот скаляр.

Умножение матриц.

Транспонированная матрица

A= A^T=

Обратная матрица.