Решение задачи оптимизации выпуска продукции симплекс–методом.

Первоначально находим симплексным методом или методом искусственного базиса оптимальный план задачи без учета целочисленности переменных. Пусть им является план X0. Если среди компонент этого плана нет дробных чисел, то тем самым найдено искомое решение данной задачи и Fmax = F(Xo).

Если же среди компонент плана X0 имеются дробные числа, то X0 не удовлетворяет условию целочисленности и необходимо осуществить упорядоченный переход к новым планам, пока не будет найдено решение задачи. Покажем, как это можно сделать, предварительно отметив, что F(X0) ³ F(X) для всякого последующего плана X.

Предполагая, что найденный оптимальный план X0 не удовлетворяет условию целочисленности переменных, тем самым считаем, что среди его компонент есть дробные числа. Пусть, например, переменная приняла в плане X0 дробное значение. Тогда в оптимальном целочисленном плане ее значение будет по крайней мере либо меньше или равно ближайшему меньшему целому числу , либо больше или равно ближайшему большему целому числу +1. Определяя эти числа, находим симплексным методом решение двух задач линейного программирования:

Найдем решение задач линейного программирования (I) и (II). Очевидно, здесь возможен один из следующих четырех случаев:

1. Одна из задач неразрешима, а другая имеет целочисленный оптимальный план. Тогда этот план и значение целевой функции на нем и дают решение исходной задачи.

2. Одна из задач неразрешима, а другая имеет оптимальный план, среди компонент которого есть дробные числа. Тогда рассматриваем вторую задачу и в ее оптимальном плане выбираем одну из компонент, значение которой равно дробному числу, и строим две задачи, аналогичные задачам (I) и (II).

3. Обе задачи разрешимы. Одна из задач имеет оптимальный целочисленный план, а в оптимальном плане другой задачи есть дробные числа. Тогда вычисляем значения целевой функции на этих планах и сравниваем их между собой. Если на целочисленном оптимальном плане значение целевой функции больше или равно ее значению на плане, среди компонент которого есть дробные числа, то данный целочисленный план является оптимальным для исходной задачи и он вместе со значением целевой функции на нем дает искомое решение.

Если же значение целевой функции больше на плане, среди компонент которого есть дробные числа, то следует взять одно из таких чисел и для задачи, план которой рассматривается, необходимо построить две задачи, аналогичные (I) и (II).

4. Обе задачи разрешимы, и среди оптимальных планов обеих задач есть дробные числа. Тогда вычисляем значение целевой функции на данных оптимальных планах и рассматриваем ту из задач, для которой значение целевой функции является наибольшим. В оптимальном плане этой задачи выбираем одну из компонент, значение которой является дробным числом, и строим две задачи, аналогичные (I) и (II).

Таким образом, описанный выше итерационный процесс может быть представлен в виде некоторого дерева, на котором исходная вершина отвечает оптимальному плану Х0 задачи (1)-(3), а каждая соединенная с ней ветвью вершина отвечает оптимальным планам задач (I) и (II). Каждая из этих вершин имеет свои ветвления. При этом на каждом шаге выбирается та вершина, для которой значение функции является наибольшим. Если на некотором шаге будет получен план, имеющий целочисленные компоненты, и значение функции на нем окажется больше или равно, чем значение функции в других возможных для ветвления вершинах, то данный план является оптимальным планом исходной задачи целочисленного программирования и значение целевой функции на нем является максимальным.

Итак, процесс нахождения решения задачи целочисленного программирования (1)-(4) методом ветвей и границ включает следующие основные этапы:

1). Находят решение задачи линейного программирования (1)-(3).

2). Составляют дополнительные ограничения для одной из переменных, значение которой в оптимальном плане задачи (1)-(3) является дробным числом.

3). Находят решение задач (I) и (II), которые получаются из задачи (1)-(3) в результате присоединения дополнительных ограничений.

4). В случае необходимости составляют дополнительные ограничения для переменной, значение которой является дробным, формулируют задачи, аналогичные задачам (I) и (II), и находят их решение.

Итерационный процесс продолжают до тех пор, пока не будет найдена вершина, соответствующая целочисленному плану задачи (1)-(3) и такая, что значение функции в этой вершине больше или равно значению функции в других возможных для ветвления вершинах.

Описанный выше метод ветвей и границ имеет более простую логическую схему расчетов, чем метод Гомори.

В узлах метода ветвей и границ используется симплекс-метод.

Главный недостаток алгоритма метода ветвей и границ заключается в необходимости полностью решать задачи линейного программирования, ассоциированные с каждой из вершин многогранника допустимых решений. Для задач большой размерности это требует значительных и, в известной степени, неоправданных с практической точки зрения затрат времени.

2.3 Симплекс метод

Задачи линейного программирования в канонической форме широко распространены в инженерной практике, и для их решения разработана большая группа методов, основной из которых — симплекс-метод. Рассмотрим постановку и решение задачи линейного программирования в канонической форме.

2.3.1 Описание

Задача будет рассматриваться в форме, которая называется канонической. Известно, что путем введения дополнительных ограничений и переменных можно свести к канонической форме задачу линейного программирования, представленную в любой форме, в частности в естественной форме.

9. Модель оптимизации плана перевозок (транспортная задача). Экономическая постановка задачи.

Постановка задачи

Классическая транспортная задача ЛП формулируется следующим образом.

Имеется m пунктов производства (поставщиков) и n пунктов

потребления (потребителей) однородного продукта. Заданы величины:

- объем производства (запас) i-го поставщика, i=1, m ;

- объем потребления (спрос) j-го потребителя, i=1, n ;

- стоимость перевозки (транспортные затраты) единицы продукта от i-го поставщика к j-му потребителю.

Требуется составить такой план перевозок, при котором спрос

всех потребителей был бы выполнен и при этом общая стоимость всех

перевозок была бы минимальна.

Математическая модель транспортной задачи имеет вид

Транспортная задача, в которой суммарные запасы

и суммарные потребности

совпадают, называется закрытой моделью; в противном случае -открытой. Открытая модель решается приведением к закрытой.

В случае, когда суммарные запасы превышают суммарные

потребности, т.е.

вводится фиктивный n+1 потребитель, потребности которого

В случае, когда суммарные потребности превышают суммарные

запасы, т.е.

, вводится фиктивный m+1 поставщик, запасы которого

Стоимость перевозки единицы груза как до фиктивного потребителя, так и стоимость перевозки единицы груза от фиктивного поставщика

полагают равными нулю, так как груз в обоих случаях не перевозится.

Прежде чем решать транспортную задачу, необходимо проверить, к какой модели она принадлежит, и если необходимо, то привести ее к

закрытой модели.