Вычисление определенного интеграла.

Пусть в интеграле нижний предел а = const, а верхний предел b изменяется. Очевидно, что если изменяется верхний предел, то изменяется и значение интеграла. Обозначим = Ф(х). Найдем производную функции Ф(х) по переменному верхнему пределу х.

Аналогичную теорему можно доказать для случая переменного нижнего предела. Теорема: Для всякой функции f(x), непрерывной на отрезке [a, b], существует на этом отрезке первообразная, а значит, существует неопределенный интеграл. Теорема: (Теорема Ньютона – Лейбница) Если функция F(x) – какая- либо первообразная от непрерывной функции f(x), то

это выражение известно под названием формулы Ньютона – Лейбница. Доказательство: Пусть F(x) – первообразная функции f(x). Тогда в соответствии с приведенной выше теоремой, функция - первообразная функция от f(x). Но т.к. функция может иметь бесконечно много первообразных, которые будут отличаться друг от друга только на какое – то постоянное число С, то при соответствующем выборе С это равенство справедливо для любого х, т.е. при х = а: Тогда А при х = b: Заменив переменную t на переменную х, получаем формулу Ньютона – Лейбница: Теорема доказана. Иногда применяют обозначение F(b) – F(a) = F(x) Формула Ньютона – Лейбница представляет собой общий подход к нахождению определенных интегралов. Что касается приемов вычисления определенных интегралов, то они практически ничем не отличаются от всех тех приемов и методов, которые были рассмотрены выше при нахождении неопределенных интегралов. Точно так же применяются методы подстановки (замены переменной), метод интегрирования по частям, те же приемы нахождения первообразных для тригонометрических, иррациональных и трансцендентных функций. Особенностью является только то, что при применении этих приемов надо распространять преобразование не только на подинтегральную функцию, но и на пределы интегрирования. Заменяя переменную интегрирования, не забыть изменить соответственно пределы интегрирования.

5. Замена переменной под знаком определенного интеграла. Привести примеры.

6. Интегрирование по частям в определенном интеграле. Привести примеры.

7. Несобственные интегралы 1 рода (интегралы с бесконечными границами интегрирования).

8. Несобственные интегралы 2-го рода (от функций с бесконечными разрывами). Геометрический смысл. Привести примеры.

9. Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного ин­теграла: в декартовой ортогональной системе координат, в полярной системе координат, для линий, заданных параметрически. Привести примеры.

Вычисление площадей плоских фигур. Рис 1

Известно, что определенный интеграл на отрезке представляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f(x). Если график расположен ниже оси Ох, т.е. f(x) < 0, то площадь имеет знак “-“, если график расположен выше оси Ох, т.е. f(x) > 0, то площадь имеет знак “+”.

Для нахождения суммарной площади используется формула .

Площадь фигуры, ограниченной некоторыми линиями может быть найдена с помощью определенных интегралов, если известны уравнения этих линий.

Пример. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y = x, y = x², x = 2. Рис 2.

Искомая площадь (заштрихована на рисунке) может быть найдена по формуле:

(ед²)

10. Вычисление объектов тел с помощью определенного интеграла по площадям поперечных сечений. Объем тел вращения. Привести примеры.

11. Вычисление длин дуг кривой с помощью определенного интеграла. Привести примеры.