Достаточные признаки существования экстремума (доказать одну из теорем).
Теорема (первое достаточное условие экстремума).Пусть в точке функция
непрерывна, а производная
при переходе через точку
меняет знак. Тогда
– точка экстремума: максимума, если знак меняется с «+» на «–», и минимума, если с «–» на «+».
Доказательство. Пусть при
и
при
.
По теореме Лагранжа , где
.Тогда если
, то
; поэтому
и
, следовательно,
, или
. Если же
, то
; поэтому
и
, следовательно,
или
.
Таким образом доказано, что в любых точках вблизи
, т.е.
– точка максимума функции
.
Доказательство теоремы для точки минимума проводится аналогично. Теорема доказана.
Если при переходе через точку производная не меняет знак, то в точке
экстремума нет.
Теорема (второе достаточное условие экстремума). Пусть в точке производная дважды дифференцируемой функции
равна 0 (
), а ее вторая производная в этой точке отлична от нуля (
) и непрерывна в некоторой окрестности точки
. Тогда
– точка экстремума
; при
это точка минимума, а при
это точка максимума.
Алгоритм нахождения экстремумов функции с помощью первого достаточного условия экстремума.
1. Найти производную.
2. Найти критические точки функции.
3. Исследовать знак производной слева и справа от каждой критической точки и сделать вывод о наличии экстремумов.
4. Найти экстремальные значения функции.
Алгоритм нахождения экстремумов функции с помощью второго достаточного условия экстремума.
1. Найти производную .
2. Найти вторую производную .
3. Найти те точки, в которых .
4. В этих точках определить знак .
5. Сделать вывод о существовании и характере экстремумов.
6. Найти экстремальные значения функции.
Пример. Рассмотрим . Найдем
. Далее,
при
и при
. Исследуем критические точки с помощью первого достаточного условия экстремума. Имеем, что
при
и при
, и
при
. В точках
и
производная меняет свой знак: при
с «+» на «–» и при
с «–» на «+». Это значит, что в точке
функция имеет максимум, а точке
– минимум;
. Для сравнения исследуем критические точки с помощью второго достаточного условия экстремума. Найдем вторую производную
. Имеем:
, а это значит, что в точке
функция имеет максимум, а точке
– минимум.
Понятие асимптоты графика функции. Горизонтальные, наклонные и вертикальные асимтоты. Примеры.
Определение. Асимптотой графика функции называется прямая, обладающая тем свойством, что расстояние от точки
до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат.
Различают вертикальные (рис. 6.6 а), горизонтальные (рис. 6.6 б) и наклонные (рис. 6.6 в) асимптоты.
На рис. 6.6а изображена вертикальная асимптота.
На рис 6.6б – горизонтальная асимптота.
На рис. 6.6в – наклонная асимптота.
Теорема 1. В точках вертикальных асимптот (например, ) функция
терпит разрыв, ее предел слева и справа от точки
равен
:
и (или)
.
Теорема 2. Пусть функция определена при достаточно больших
и существуют конечные пределы
и
.
Тогда прямая является наклонной асимптотой графика функции
.
Теорема 3.Пусть функция определена при достаточно больших
и существует предел функции
. Тогда прямая
есть горизонтальная асимптота графика функции
.
Горизонтальная асимптота является частным случаем наклонной асимптоты, когда . Поэтому, если в каком-либо направлении кривая имеет горизонтальную асимптоту, то в этом направлении нет наклонной, и наоборот.
Пример.Найти асимптоты графика функции .
Решение. В точке функция не определена, найдем пределы функции слева и справа от точки
:
;
.
Следовательно, - вертикальная асимптота.
![]() | Найдем наклонную асимптоту: ![]() ![]() ![]() ![]() |
Общая схема исследования функций и построения их графиков. Пример.
Общая схема исследования функции и построения ее графика.
1. Найти область определения .
2. Исследовать функцию на четность – нечетность.
3. Найти вертикальные асимптоты и точки разрыва (если есть).
4. Исследовать поведение функции в бесконечности; найти горизонтальные и наклонные асимптоты (если есть).
5. Найти экстремумы и интервалы монотонности функции.
6. Найти точки пересечения графика с осями координат и, если это нужно для схематического построения графика, найти дополнительные точки.
7. Схематично построить график.
Подробная схема исследования функции и построения графика.
1. Найти область определения .
a. Если у есть знаменатель, он не должен обращаться в 0.
b. Подкоренное выражение корня четной степени должно быть неотрицательным (больше либо равно нулю).
c. Подлогарифмическое выражение должно быть положительным.
2. Исследовать функцию на четность – нечетность.
a. Если , то функция четная.
b. Если , то функция нечетная.
c. Если не выполнено ни , ни
, то
– функция общего вида.
3. Найти вертикальные асимптоты и точки разрыва (если есть).
a. Вертикальная асимптота может возникнуть только на границе области определения функции.
b. Если (
или
), то
– вертикальная асимптота графика
.
4. Исследовать поведение функции в бесконечности; найти горизонтальные и наклонные асимптоты (если есть).
a. Если , то
– горизонтальная асимптота графика
.
b. Если и
, то прямая
является наклонной асимптотой графика
.
c. Если пределы, указанные в п. a, b, существуют только при одностороннем стремлении к бесконечности (
или
), то полученные асимптоты будут односторонними: левосторонними при
и правосторонними при
.
5. Найти экстремумы и интервалы монотонности функции.
a. Найти производную .
b. Найти критические точки (те точки, где
или где
не существует).
c. На числовой оси отметить область определения и ее критические точки.
d. На каждом из полученных числовых интервалов определить знак производной .
e. По знакам производной сделать вывод о наличии экстремумов у и их типе.
f. Найти экстремальные значения .
g. По знакам производной сделать вывод о возрастании и убывании .
6. Найти точки пересечения графика с осями координат и, если это нужно для схематического построения графика, найти дополнительные точки.
a. Для того, чтобы найти точки пересечения графика с осью
, надо решить уравнение
. Точки
, где
– нули
, будут точками пересечения графика
с осью
.
b. Точка пересечения графика с осью
имеет вид
. Она существует, только если точка
входит в область определения функции
.
8. Схематично построить график.
a. Построить систему координат и асимптоты.
b. Отметить экстремальные точки.
c. Отметить точки пересечения графика с осями координат.
d. Схематично построить график так, чтобы он проходил через отмеченные точки и приближался к асимптотам.
Пример. Исследовать функцию и схематично построить ее график.
1. .
2. – функция общего вида.
3. Поскольку и
, то прямые
и
являются вертикальными асимптотами; точки
и
являются точками разрыва.
4. Поскольку
, прямая
– горизонтальная асимптота графика
.
5. ;
при
. На числовой оси отмечаем точки
,
(не входят в область определения
) и
(критическая точка
). На каждом из полученных числовых интервалов определяем знак производной
: при
, при
, при
, при
. Делаем выводы:
– точка максимума (в этой точке производная меняет знак с «+» на «–»),
; при
и при
возрастает; при
и при
убывает.
6. Точка пересечения графика с осью
:
. Точка пересечения графика
с осью
отсутствует, так как точка
не входит в область определения функции
.
7. См. рис. 7.
Функции нескольких переменных. Примеры. Частные производные (определение). Экстремум функции нескольких переменных и его необходимые условия.
Основные понятия. Частные производные
Определение. Пусть имеется переменных величин и каждому набору их значений
из некоторого множества
соответствует одно вполне определенное значение переменной величины
из множества
. тогда говорят, что задана функция нескольких переменных
.
Переменные называются независимыми переменными или аргументами,
- зависимая переменная. Множество
называется областью определения функции, множество
- областью значений функции.
Функцию двух переменных будем обозначать как .
Определение. Графиком функции двух переменных называется множество точек трехмерного пространства (
), аппликата
которых связана с абсциссой
и ординатой
функциональным соотношением
. График представляет собой некоторую поверхность в трехмерном пространстве.