Дифференциал высшего порядка функции одной переменной
Для функции, зависящей от одной переменной второй и третий дифференциалы выглядят так:
Отсюда можно вывести общий вид дифференциала n-го порядка от функции :
При вычислении дифференциалов высших порядков очень важно, что есть произвольное и не зависящее от
, которое при дифференцировании по
следует рассматривать как постоянный множитель.
[править] Дифференциал высшего порядка функции нескольких переменных
Если функция имеет непрерывные частные производные второго порядка, то дифференциал второго порядка определяется так:
.
Символически общий вид дифференциала n-го порядка от функции выглядит следующим образом:
где , а
произвольные приращения независимых переменных
.
Приращения рассматриваются как постоянные и остаются одними и теми же при переходе от одного дифференциала к следующему. Сложность выражения дифференциала возрастает с увеличением числа переменных.
23)Возрастание и убывание ф-ии. Максимум и минимум
Возрастание и убывание функции. Точки максимума и минимума функции
Рассмотрим приложение производной функции к исследованию поведения функции. По первой производной функции можно определить промежутки возрастания и убывания функции, а также определить точки экстремума функции (максимум и минимум).
Определение. Функция называется возрастающей в точке
, если в некоторой
-окрестности этой точки справедливо
для любого .
Определение. Функция называется возрастающей на отрезке
, если для любых двух точек
справедливо неравенство
когда .
Определение. Функция называется убывающей в точке
, если в некоторой
-окрестности этой точки справедливо неравенство
для любого .
Определение. Функция называется убывающей на отрезке
, если для любых двух точек
справедливо неравенство
когда .
Определение. Функция имеет в точке
максимум, если значение
является наибольшим в некоторой двустороней окрестности точки
.
Определение. Функция имеет в точке
минимум, если значение
является наименьшим в некоторой двусторонней окрестности точки
.
Определение. Функция имеет в точке
экстремум, если точка
является точкой максимума или минимума.
Признаки (достаточные) возрастания и убывания функции :
Если на интервале
, то функция
возрастает на этом интервале;
Если на интервале
, то функция
убывает на этом интервале.
Необходимое условие экстремума функции.
Функция может иметь экстремум только в точках, где
или производная не существует. Точка, где
или производная не существует называется критической точкой.
Заметим, что если в точке выполняется, что
, то это означает, что касательная в данной точке параллельная оси
. Если производная в точке
не существует, то это значит либо касательная вертикальная, либо ее нет в данной точке.