Правило дифференцирования сложной функции
Сложная функция (композиция функций, суперпозиция функций) обозначается или
.
Производная композиции равна:
Если необходимо взять производную от композиции трех и более функций, то последовательно применяем указанное выше правило. Например,
Правило логарифма при дифференцировании функции:
21)Производные высших порядков
Производные высшего и дробного порядка
Другое простое обобщение, которое можно произвести, — это применить её больше, чем один раз, получая в результате производную второго (и выше) порядка, как определено в статье о производных. Этот способ может быть обобщён.
В добавок к производным n-ого порядка для любого натурального числа n, используя различные методы, возможно ввести производные в дробных степенях, получая при этом так называемые производные дробного порядка. Производные отрицательных порядков будут соответствовать интегрированию, откуда появляется термин дифферинтеграл. Изучение различных возможных определений и записей производных ненатуральных порядков известно под названием дробное исчисление.
Производные высших порядков
Если функция дифференцируема при всех
, то мы можем рассмотреть функцию
, сопоставляющую каждой точке
значение производной
. Эта функция
называется производной функции
, или первой производной от
. (Иногда саму исходную функцию
называют нулевой производной и обозначают тогда
.) Функция
, в свою очередь, может иметь производную во всех (или некоторых) точках
интервала
, которую мы обозначим
и назовём второй производной функции
. Если предположить, что вторая производная
существует во всех точках
, то она может также иметь производную
, называемую третьей производной функции
, и т. д. Вообще,
-й производной функции
называется производная от предыдущей,
-й производной
:
если эта производная существует. -я производная называется также производной
-го порядка, а её номер
называется порядком производной.
При первую, вторую и третью производные принято обозначать штрихами:
или
; при прочих
-- числом в скобках в верхнем индексе:
или
.
Физический смысл производной второго порядка проясняется из того, что если первая производная задаёт мгновенную скорость изменения значений
в момент времени
, то вторая производная, то есть производная от
, задаёт мгновенную скорость изменения значений мгновенной скорости, то есть ускорение значений
. Следовательно, третья производная -- это скорость изменения ускорения (или, что то же самое, ускорение изменения скорости, поскольку, как очевидно следует из определения,
).
22)Дифференциалы высших порядков
Дифференциалом порядка n, где n > 1 от функции в некоторой точке называется дифференциал в этой точке от дифференциала порядка (n — 1), то есть
.