Основное логарифмическое тождество

Из определения логарифма следует основное логарифмическое тождество^[7]:

Следствие: из равенства двух вещественных логарифмов следует равенство логарифмируемых выражений. В самом деле, если , то , откуда, согласно основному тождеству:

15.Множество действительных чисел - это вместе взятые множества рациональных и иррациональных чисел.

Действительное число или как его еще называют вещественное число - это любое положительное число, отрицательное число или нуль.

Действительные числа разделяются нарациональные и иррациональные.

Вещественные (действительные) числа - это своего рода математическая абстракция, служащая для представления физических величин. Такие числа могут быть интуитивно представлены как отношение двух величин одной размерности, или описывающие положение точек на прямой. Множество вещественных чисел обозначается и часто называется вещественной или числовой прямой. Формально вещественные числа состоят из более простых объектов таких, как целые и рациональные числа.

16.Мнимая единица — обычно комплексное число, квадрат которого равен отрицательной единице.здесь a и b – действительные числа, а i – число нового рода, называемое мнимой единицей.

Сумма действительного и мнимого чисел и называется комплексным числом.

С алгебраической формой комплексного числа мы уже познакомились, – это и есть алгебраическая форма комплексного числа.

17. В полярной системе координат на комплексной плоскости число будет определяться парой действительных чисел (рис.1). Из уравнений, связывающих декартовую и полярную системы координат, следует:

(8)

и имеет смысл модуля , а называется аргументом числа , . С использованием (8) число запишется как

(9)

и называется тригонометрической формой записи комлексного числа . Отметим, что аргумент определен с точностью до целого кратного , что записывается как

(10)

Выражение в скобках формулы (9) может быть преобразовано с помощью соотношения:

(11)

которое называется формулой Эйлера и позволяет получить еще один способ записи комплексных чисел

Выражение (12) называется показательной формой записи комплексного числа и является одной из наиболее часто встречающихся в комплексном анализе. Использование символа экспоненты в (11) указывает на то, что эта величина должна обладать и теми же свойствами. Доказательство последнего утверждения будет удобнее рассмотреть на примере.

Пример 1-3.Доказать следующие свойства экспоненты с чисто мнимым показателем:

1. 2. 3.

Решение

1. Из формулы Эйлера (11) следует, что

2. Применяя формулу Эйлера два раза, получим

18..28.1. Сложение комплексных чисел

Суммой двух комплексных чисел z₁=х₁+iy₁ и z₂=х₂+iy₂ называется комплексное число, определяемое равенством

z₁+z₂=(x₁+x₂)+i(y₁+y₂). (28.1)

Сложение комплексных чисел обладает переместителъным (коммутативным) и сочетательным (ассоциативным) свойствами:

• z₁+z₂=z₂+z₁
• (z₁+z₂)+z₃=z₁+(z₂+z₃).

Из определения (28.1) следует, что геометрически комплексные числа складываются как векторы (см. рис. 164).

Непосредственно из рисунка видно, что |z₁+z₂|≤|z₁|+|z₂|. Это соотношение называется неравенством треугольника.

Вычитание комплексных чисел

Вычитание определяется как действие, обратное сложению. Разностью двух комплексных чисел z₁ и z₂ называется такое комплексное число z, которое, будучи сложенным с z₂, дает число z_l т. е. z=z₁-z₂, если z+z₂=z₁.

Если z₁=x₁+iy₁, z₂=x₂+iy₂, то из этого определения легко получить z:

z=z₁-z₂=(x₁-x₂)+i(y₁-y₂). (28.2)

Из равенства (28.2) следует, что геометрически комплексные числа вычитаются как векторы (см. рис. 165).

Непосредственно из рисунка видно, что |z₁-z₂|≥|z₁|-|z₂|. Отметим, что

т. е. модуль разности двух комплексных чисел равен расстоянию d между точками, изображающими эти числа на плоскости.

Поэтому, например, равенство |z-2i|=1 определяет на комплексной плоскости множество точек z, находящихся на расстоянии 1 от точки z₀=2i, т. е. окружность с центром в z₀=2i и радиусом 1.

19.Аксиома 1.
Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна

Аксиома 2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости. (Прямая лежит на плоскости или плоскость проходит через прямую).
Аксиома 3. Если две различные плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей. В таком случае говорят, плоскости пересекаются по прямой. Пример: пересечение двух смежных стен, стены и потолка комнаты.

20.

Теорема 1. Через прямую a и не лежащую на ней точкуАпроходит плоскость, и притом только одна.

21.

Теорема 2. Через две пересекающиеся прямые a и b проходит плоскость, и при том только одна.