Свойства степени с рациональным показателем.
Основное соотношение
Функция arcsin
График функции .
Арксинусом числа m называется такое значение угла x, для которого
Функция непрерывна и ограничена на всей своей числовой прямой. Функция
является строго возрастающей.
-
при
-
при
-
(область определения),
-
(область значений).
9.
Определение:
Арксинусом числаа называется угол из отрезка , синус которого равен числу а.
Свойство арксинуса от отрицательного угла:
Определение:
Аркосинусомчислаа называется угол из отрезка , косинус которого равен числу а.
Свойство арккосинуса от отрицательного угла:
Определение:
Арктангенсом числаа называется угол из интервала , тангенс которого равен числу а.
Свойство арктангенса от отрицательного угла:
Определение:
Арккотангенсом числаа называется угол из интервала , котангенс которого равен числу а.
Свойство арккотангенса от отрицательного угла:
10.Ключевые слова: тригонометрия, синус, косинус, тангенс, котангенс, cos, sin, tg, ctg, тригонометрические уравнения, частные формулы тригонометрических уравнений
Тригонометрическим уравнением называется уравнение, содержащее переменную под знаком тригонометрических функций.
Уравнения вида sin x = a;cos x = a;tg x = a;ctg x = a, где x - переменная, a R, называются простейшими тригонометрическими уравнениями.
11. Пусть и
Тогда существует единственное неотрицательное число x такое, что выполняется равенство
Это число называется арифметическим корнем n -ной степени из неотрицательного числа и обозначается
При этом число a называется подкоренным числом , а число n − показателем корня .
Вместо слова «корень» часто говорят радикал . Если n = 2, то обычно пишут просто: При n = 2 арифметический корень называется квадратным корнем , при n = 3 говорят о кубическом корне .
Итак, по определению:
Отсюда следует, что Например,
се свойства формулируются и доказываются только для неотрицательных значений переменных, содержащихся под знаками корней.
Доказательство.Введем следующие обозначения: Нам надо доказать, что для неотрицательных чисел х, у, z выполняется равенство х-уz.
Так как
Итак, Но если степени двух неотрицательных чисел равны и показатели степеней равны, то равны и основания степеней; значит, из равенства xn =(уz)п следует, что х-уz, а это и требовалось доказать.
12.Определение. Степенью числа a>0 с рациональным показателем , где m - целое число, а n - натуральное ( n>1), называется число
, т.е.
Свойства степени с рациональным показателем.
Свойства
Решение
1. Из формулы Эйлера (11) следует, что
2. Применяя формулу Эйлера два раза, получим
18..28.1. Сложение комплексных чисел
Суммой двух комплексных чисел z1=х1+iy1 и z2=х2+iy2 называется комплексное число, определяемое равенством
z1+z2=(x1+x2)+i(y1+y2). (28.1)
Сложение комплексных чисел обладает переместителъным (коммутативным) и сочетательным (ассоциативным) свойствами:
- z1+z2=z2+z1
- (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).
Из определения (28.1) следует, что геометрически комплексные числа складываются как векторы (см. рис. 164).
Непосредственно из рисунка видно, что |z1+z2|≤|z1|+|z2|. Это соотношение называется неравенством треугольника.
Вычитание комплексных чисел
Вычитание определяется как действие, обратное сложению. Разностью двух комплексных чисел z1 и z2 называется такое комплексное число z, которое, будучи сложенным с z2, дает число zl т. е. z=z1-z2, если z+z2=z1.
Если z1=x1+iy1, z2=x2+iy2, то из этого определения легко получить z:
z=z1-z2=(x1-x2)+i(y1-y2). (28.2)
Из равенства (28.2) следует, что геометрически комплексные числа вычитаются как векторы (см. рис. 165).
Непосредственно из рисунка видно, что |z1-z2|≥|z1|-|z2|. Отметим, что
т. е. модуль разности двух комплексных чисел равен расстоянию d между точками, изображающими эти числа на плоскости.
Поэтому, например, равенство |z-2i|=1 определяет на комплексной плоскости множество точек z, находящихся на расстоянии 1 от точки z0=2i, т. е. окружность с центром в z0=2i и радиусом 1.
19.Аксиома 1.
Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна
Аксиома 2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости. (Прямая лежит на плоскости или плоскость проходит через прямую). | ![]() |
Аксиома 3. Если две различные плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей. В таком случае говорят, плоскости пересекаются по прямой. Пример: пересечение двух смежных стен, стены и потолка комнаты. |
20.
Теорема 1. Через прямую a и не лежащую на ней точкуАпроходит плоскость, и притом только одна. | ![]() |
21.
Теорема 2. Через две пересекающиеся прямые a и b проходит плоскость, и при том только одна. | ![]() |
Определение 2.1.
Две прямые в пространстве называются параллельными , если они лежат в одной плоскости и не имеют общих точек.
Если две прямые a и b параллельны, то, как и в планиметрии, пишут a || b . В пространстве прямые могут быть размещены так, что они не пересекаются и не параллельны. Этот случай является особым для стереометрии.
Определение 2.2.
Прямые, которые не имеют общих точек и не параллельны, называются скрещивающимися .
Теорема 2.1.
Через точку вне данной прямой можно провести прямую, параллельную данной, и притом только одну.
24.
Признак параллельности прямых |
Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются. Через точку вне данной прямой можно пронести прямую, параллельную этой пряиой, и притом только одну. Это утверждение сводится к аксиоме о параллельных в плоскости. Теорема. Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны. Пусть прямые b и с параллельны прямой а. Падо доказать, что b || с. ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
25.Признак параллельности прямой и плоскости
Теорема
Если прямая, не принадлежащая плоскости, параллельна какой-нибудь прямой в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости.
Доказательство
Пусть α - плоскость, a – не лежащая в ней прямая и a1 – прямая в плоскости α, параллельная прямой a. Проведем плоскость α1 через прямые a и a1. Плоскости α и α1 пересекаются по прямой a1. Если бы прямая a пересекала плоскость α, то точка пересечения принадлежала бы прямой a1. Но это невозможно, так как прямые a и a1 параллельны. Следовательно, прямая a не пересекает плоскостью α, а значит, параллельна плоскости α. Теорема доказана.
26.
Параллельность плоскостей Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются, т.е. не имеют ни одной общей точки. α∥β. | ![]() |
Признак параллельности двух плоскостей Теорема. Если две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости , то эти плоскости параллельны. Если а∥а1 и b∥b1, то α∥β. | ![]() |
27.Существование плоскости, параллельной данной плоскости
Теорема
Через точку вне данной плоскости можно провести плоскость, параллельную данной, и притом только одну.
Доказательство
Проведем в данной плоскости α какие-нибудь две пересекающиеся прямые a и b. Через данную точку A проведем параллельные им прямые a1 и b1. Плоскость β, проходящая через прямые a1 и b1, по теореме о признаке параллельности плоскостей параллельна плоскости α.
Предположим, что через точку A проходит другая плоскость β1, тоже параллельная плоскости α. Отметим на плоскости β1 какую-нибудь точку С, не лежащую в плоскости β. Проведем плоскость γ через точки A, С и какую-нибудь точку B плоскости α. Эта плоскость пересечет плоскости α, β и β1 по прямым b, a и с. Прямые a и с не пересекают прямую b, так как не пересекают плоскость α. Следовательно, они параллельны прямой b. Но в плоскости γ через точку A может проходить только одна прямая, параллельная прямой b. что противоречит предположению. Теорема доказана.
28.Свойства параллельных плоскостей
![]() | ![]() |
29.
Перпендикулярные прямые в пространстве. Две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90 градусов. c. m. k. k. m. c. k. Пересекающиеся. Скрещивающиеся.
30.
Теорема 1 ПРИЗНАК ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ. Если прямая, пересекающая плоскость, перпендикулярна двум прямым в этой плоскости, проходящим через точку пересечения данной прямой и плоскости, то она перпендикулярна плоскости. | ![]() |
Доказательство:Пусть а прямая, перпендикулярная прямым b и c в плоскости ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
31.32
Теорема 2 1-ое СВОЙСТВО ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫХ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ. Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой. | ![]() |
Доказательство: Пусть а1 и а2 - 2 параллельные прямые и ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | |
Теорема 3 2-ое СВОЙСТВО ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫХ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ. Две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости, параллельны. | ![]() |
Доказательство: Пусть а и b - 2 прямые, перпендикулярные плоскости ![]() ![]() ![]() ![]() |
33.Перпендикуляром, опущенным из данной точки данную плоскость, называется отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости и лежащий на прямой, перпендикулярной плоскости. Конец этого отрезка, лежащий в плоскости, называется основанием перпендикуляра.
Наклонной, проведенной из данной точки к данной плоскости, называется любой отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости, не являющийся перпендикуляром к плоскости. Конец отрезка, лежащий в плоскости, называется основанием наклонной. Отрезок, соединяющий основания перпендикуляра наклонной, проведенных из одной и той же точки, называется проекцией наклонной.
AB – перпендикуляр к плоскости α.
AC – наклонная, CB – проекция.
Формулировка теоремы
Если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна её проекции, то она перпендикулярна к наклонной.
Доказательство
Пусть AB — перпендикуляр к плоскости α, AC — наклонная и c — прямая в плоскости α, проходящая через точку C и перпендикулярная проекции BC. Проведем прямую CK параллельно прямой AB. Прямая CK перпендикулярна плоскости α (так как она параллельна AB), а значит, и любой прямой этой плоскости, следовательно, CK перпендикулярна прямой c. Проведем через параллельные прямые AB и CK плоскость β (параллельные прямые определяют плоскость, причем только одну). Прямая c перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости β, это BC по условию и CK по построению, значит, она перпендикулярна и любой прямой, принадлежащей этой плоскости, значит, перпендикулярна и прямой AC.
Основное соотношение
Функция arcsin
График функции .
Арксинусом числа m называется такое значение угла x, для которого
Функция непрерывна и ограничена на всей своей числовой прямой. Функция
является строго возрастающей.
-
при
-
при
-
(область определения),
-
(область значений).
9.
Определение:
Арксинусом числаа называется угол из отрезка , синус которого равен числу а.
Свойство арксинуса от отрицательного угла:
Определение:
Аркосинусомчислаа называется угол из отрезка , косинус которого равен числу а.
Свойство арккосинуса от отрицательного угла:
Определение:
Арктангенсом числаа называется угол из интервала , тангенс которого равен числу а.
Свойство арктангенса от отрицательного угла:
Определение:
Арккотангенсом числаа называется угол из интервала , котангенс которого равен числу а.
Свойство арккотангенса от отрицательного угла:
10.Ключевые слова: тригонометрия, синус, косинус, тангенс, котангенс, cos, sin, tg, ctg, тригонометрические уравнения, частные формулы тригонометрических уравнений
Тригонометрическим уравнением называется уравнение, содержащее переменную под знаком тригонометрических функций.
Уравнения вида sin x = a;cos x = a;tg x = a;ctg x = a, где x - переменная, a R, называются простейшими тригонометрическими уравнениями.
11. Пусть и
Тогда существует единственное неотрицательное число x такое, что выполняется равенство
Это число называется арифметическим корнем n -ной степени из неотрицательного числа и обозначается
При этом число a называется подкоренным числом , а число n − показателем корня .
Вместо слова «корень» часто говорят радикал . Если n = 2, то обычно пишут просто: При n = 2 арифметический корень называется квадратным корнем , при n = 3 говорят о кубическом корне .
Итак, по определению:
Отсюда следует, что Например,
се свойства формулируются и доказываются только для неотрицательных значений переменных, содержащихся под знаками корней.
Доказательство.Введем следующие обозначения: Нам надо доказать, что для неотрицательных чисел х, у, z выполняется равенство х-уz.
Так как
Итак, Но если степени двух неотрицательных чисел равны и показатели степеней равны, то равны и основания степеней; значит, из равенства xn =(уz)п следует, что х-уz, а это и требовалось доказать.
12.Определение. Степенью числа a>0 с рациональным показателем , где m - целое число, а n - натуральное ( n>1), называется число
, т.е.
Свойства степени с рациональным показателем.