Системы лау. методы решения невырожденных систем.
Системой m линейных алгебраических уравненией от n неизвестных (переменных) называется совокупность формальных равенств вида
(1)
a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2
.....................................
am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = bm
где aij, bi Î R – заданные числа, х – формальный символ
1 <= i <= m; 1<= j <= n
Если все bi = 0, то система называется однородной, в противном случае – неоднородной. С каждой системой связаны 2 матрицы.
А =
И =
Которые называются матрицей системы и расширенной матрицей системы соответственно.
Рассмотрим матрицы-столбцы
Х = B=
Т.к. пара матриц А и Х согласованно, то их можно перемножить:
АХ = a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn b1
a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2
am1x1 + am2x2 + ... + amnxn bm
используя равенства матриц систему (1) теперь можно записать в виде
(2) АХ = В
Такая запись системы называется матричной.
Решением системы (1) называется любая упорядоченная совокупность n-чисел (с1, с2, ... сn), при подстановке которых вместо (x1, x2, ... xn) соответственно, каждое уравнение системы обращается в верное равенство.
Система, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной, в противном случае – несовместной. Решить систему – означает найти все ее решения.
2 системы называются эквивалентными или равносильными, если у них одинаковые множества решений.
Решение невырожденных систем.
Если m=n то матрица А = Аnxn – квадратная и имеет определитель det(A) = D.
Если D¹0, то система называется невырожденной, в противном случае – вырожденной.
Пусть система 1 невырожденная и записана в матричном виде АХ = В.
Т.к. D¹0 , то А имеет А-1
И, умножая матричное ур-е АХ = В слева на А-1, получим
Х = А-1В (3)
Решение системы по этой формуле называется матричным методом решения систем (методом обратной матрицы)
Формула Крамера
xj = где
- det(A),
Dj – det, полученный из det(A) заменой j-того столбца столбцом свободных членоы.
Метод Гаусса
Суть метода Гаусса основана на след теореме: элементарные преобразования над строками расширенной матрицы системы не изменяют множетсва ее решений. Суть метода заключается в том, чтобы при помощи элементарных преобразований привести матрицу системы к наиболее простому виду. Например привести матрицу к такому виду, чтобы в каждом нижестоящем уравнении было хотя бы на одну переменную меньше, чем в вышестоящей. Если преобразованная матрица приведена к треугольному виду, то система имеет единственное решение, начиная с последнего ее уравнения последовательно находят значения всех ее неизвестных.
Для нахождения всех решений системы в трапециевидной матрице системы A3 выбирают любой базисный минор. Столбцы в выбранном миноре соответствуют переменным, которые называются базисными, остальные перемнные называются свободными. Придаваем свободным переменным произвольные значения с1, с2 , сn-k, находим общее решение системы.