Определение напряжений в сечении круглого вала при его кручении.

Применяя метод сечений, легко убедиться, что крутящий момент во всех поперечных сечениях бруса одинаков: Определение напряжений в сечении круглого вала при его кручении. - student2.ru . Выразим его через касательные напряжения, возникающие в поперечном сечении. При этом учтем, что в любой точке поперечного сечения касательное напряжение направлено перпендикулярно к радиусу, проведенному в эту точку (рис.7.8).

Определение напряжений в сечении круглого вала при его кручении. - student2.ru

Рис.7.8. Касательное напряжение

Такое направление напряжений следует из характера деформации: при повороте произвольного поперечного сечения (рис.7.7) каждая его точка (кроме лежащей на оси бруса) перемещается по дуге окружности, концентричной контуру сечения. Иными словами, направление этого перемещения, а значит и возникающего в этой точке касательного напряжения, перпендикулярно соответствующему радиусу (рис.7.9).

Определение напряжений в сечении круглого вала при его кручении. - student2.ru

Рис.7.9. Направление перемещения и касательного напряжения

Элементарная касательная сила, приходящаяся на площадку Определение напряжений в сечении круглого вала при его кручении. - student2.ru , равна Определение напряжений в сечении круглого вала при его кручении. - student2.ru , а ее момент относительно оси Определение напряжений в сечении круглого вала при его кручении. - student2.ru (точки О):

Определение напряжений в сечении круглого вала при его кручении. - student2.ru

Суммируя эти элементарные моменты, получаем следующее выражение для крутящего момента:

Определение напряжений в сечении круглого вала при его кручении. - student2.ru (7.4)

Хотя крутящий момент может рассматриваться как известная величина (определяется с помощью метода сечений через заданные внешние моменты), использовать выражение (7.4) для вычисления касательных напряжений невозможно, так как закон их распределения по поперечному сечению пока неизвестен. Для выяснения этого закона рассмотрим более подробно вопрос о деформациях.

Выделим часть бруса двумя бесконечно близкими поперечными сечениями (рис.7.7). Будем считать выделенную часть бруса защемленной в сечении I (рис.7.9), что вполне допустимо, так как нас интересуют ее деформации, а не перемещения в пространстве как твердого тела. Точка В, взятая на контуре сечения II, в результате его поворота на угол Определение напряжений в сечении круглого вала при его кручении. - student2.ru перейдет в положение Определение напряжений в сечении круглого вала при его кручении. - student2.ru Деформация сдвига соответствующего элемента бруса (торец этого элемента, лежащий в сечении II, зачернен) характеризуется углом сдвига Определение напряжений в сечении круглого вала при его кручении. - student2.ru Из прямоугольного треугольника Определение напряжений в сечении круглого вала при его кручении. - student2.ru , учитывая, что Определение напряжений в сечении круглого вала при его кручении. - student2.ru , и в силу малости деформаций Определение напряжений в сечении круглого вала при его кручении. - student2.ru получаем

Определение напряжений в сечении круглого вала при его кручении. - student2.ru Выделяя мысленно из рассматриваемой части бруса цилиндр произвольного радиуса Определение напряжений в сечении круглого вала при его кручении. - student2.ru (рис.7.9), и повторяя те же рассуждения, имеем

Определение напряжений в сечении круглого вала при его кручении. - student2.ru (7.5)

Применяя закон Гука для сдвига ( Определение напряжений в сечении круглого вала при его кручении. - student2.ru ), получаем следующее выражение для касательного напряжения

Определение напряжений в сечении круглого вала при его кручении. - student2.ru (7.6)

Подставляя (7.6) в (7.4), получаем Определение напряжений в сечении круглого вала при его кручении. - student2.ru

При интегрировании по площади поперечного сечения величина Определение напряжений в сечении круглого вала при его кручении. - student2.ru постоянна и, так же как и G, может быть вынесена за знак интеграла:

Определение напряжений в сечении круглого вала при его кручении. - student2.ru (7.7)

Интеграл, входящий в выражение (7.7), представляет собой полярный момент инерции сечения Определение напряжений в сечении круглого вала при его кручении. - student2.ru (см. раздел 2), следовательно,

Определение напряжений в сечении круглого вала при его кручении. - student2.ru

откуда

Определение напряжений в сечении круглого вала при его кручении. - student2.ru (7.8)

Подставим (7.8) в (7.6):

Определение напряжений в сечении круглого вала при его кручении. - student2.ru

или окончательно

Определение напряжений в сечении круглого вала при его кручении. - student2.ru (7.9)

Формула (7.9) позволяет определить величину касательного напряжения в любой точке поперечного сечения. Из этой формулы следует, что касательные напряжения распределены вдоль любого радиуса сечения по линейному закону.

Эпюры касательных напряжений для круглого сплошного и кольцевого поперечных сечений показаны на рис.7.10.

Определение напряжений в сечении круглого вала при его кручении. - student2.ru

Рис.7.10

В точках, равноудаленных от центра сечения, напряжения одинаковы. Наибольшего значения касательные напряжения достигают в точках контура поперечного сечения. Они могут быть определены путем подстановки в (7.9) вместо Определение напряжений в сечении круглого вала при его кручении. - student2.ru его наибольшего значения, т. е. Определение напряжений в сечении круглого вала при его кручении. - student2.ru :

Определение напряжений в сечении круглого вала при его кручении. - student2.ru

Величина Определение напряжений в сечении круглого вала при его кручении. - student2.ru представляет собой полярный момент сопротивления (см. раздел 2), следовательно, получим следующее выражение для максимального касательного напряжения:

Определение напряжений в сечении круглого вала при его кручении. - student2.ru

Наши рекомендации