Учет влияния температуры и неточности изготовления элементов
Кроме внешнего силового воздействия на конструкцию может воздействовать температура (нагрев или охлаждение в ходе эксплуатации), а рабочие элементы могут иметь неточность изготовления, приводящую уже при сборке статически-неопределимой конструкции к созданию так называемых монтажных напряжений. Даже не столь существенное изменение температуры и небольшие монтажные зазоры могут существенно сказаться после нагружения конструкции внешней силой, так как при однознаковых напряжениях от всех воздействующих факторов можно получить недопустимые совокупные напряжения в рабочих элементах конструкции.
Учесть температурный и монтажный фактор можно при раскрытии статической неопределимости, включив температурный коэффициент и неточность изготовления лишних элементов в уравнения СКУМС:
,
где – перемещение i-той раскрепленной точки системы под действием перепада температуры
. С помощью интеграла Мора его можно определить как:
(случай деформации: растяжение-сжатие),
где – коэффициент линейного расширения материала k-того рабочего элемента;
– перепад температуры, испытываемый k-тым рабочим стержнем;
– внутренняя продольная сила, возникающая на k-том рабочем элементе основной системы под воздействием единичной силы, приложенной к i-той раскрепленной точке в направлении отброшенной связи (
);
– неточность изготовления i-того элемента (обычно численно заданная по условию задачи).
При решении дополненной таким образом системы канонических уравнений метода сил мы получим реакции лишних связей ( ), вызванные воздействием и внешних нагрузок, и температурой, и сборкой с учетом неточности изготовления рабочих элементов конструкции. Напряжения, определяемые в этом случае, также будут совокупными.
Но очень часто интересно знать вклад в совокупные напряжения каждого фактора и иметь возможность при моделировании работы конструкции варьировать величинами этих факторов. В таком случае удобнее использовать принцип суперпозиции применительно к напряжениям. Так напряжение в k-том рабочем элементе от совокупности всех факторов можно представить как:
,
а раскрытие статической неопределимости, т.е. определение реакций лишних связей, производить от каждого фактора в отдельности, решая системы:
,
,
.
Рассмотрим описанный выше прием на примере следующей задачи.
Задача.
Дана абсолютно жесткая балка ВС, закрепленная с помощью шарнирно-неподвижной опоры «О» и 2-х податливых стержней, и нагруженная двумя силами и
кН (рис. 1.1). В процессе эксплуатации оба стержня нагреваются на
С. Стержень №2 изготовлен короче необходимого размера на
% l. Площадь поперечного сечения стержней
,
МПа; коэффициент линейного расширения материала стержней
,
МПа.
Определить напряжения, возникающие в стержнях от каждого из действующих факторов, а также суммарные напряжения. Сделать вывод о работоспособности системы в целом.
![]() |
Рис. 3.1. Исходная система |
Решение:
1. Образуем основную систему (рис. 3.2):
![]() |
Рис. 3.2. Основная система |
2. Образуем эквивалентные системы (рис. 3.3 а, рис. 3.3 б, рис. 3.3 в):
![]() |
Рис. 3.3, а. Эквивалентная система с воздействием силового фактора |
![]() |
Рис. 3.3, б. Эквивалентная система с воздействием температуры |
![]() |
Рис. 3.3, в. Эквивалентная система с неточностью изготовления |
3. Для каждой эквивалентной системы запишем условие эквивалентности:
![]() | (3.2) |
![]() | (3.3) |
![]() ![]() | (3.4) |
Очевидно, что для всех 3-х эквивалентных систем коэффициент одинаков, так как все они построены на одной и той же основной системе.
4. Для определения коэффициентов ,
поочередно нагрузим основную систему единичной силой
(рис. 3.4) и системой внешних сил (рис. 3.5) и получим величины продольных сил в стержнях.
![]() |
Рис. 3.4. Основная система, нагруженная ![]() |
;
.
;
– основание: метод сечений.
.
![]() |
Рис. 3.5. Основная система, нагруженная внешними силами |
В данном случае работает только стержень №2, в точке его крепления возникнет реакция , которую определим из
:
;
;
;
.
Решим каждое уравнение (1.2, 1.3, 1.4) относительно неизвестных ,
,
.
;
;
.
Каждое значение поставим на соответствующую эквивалентную систему (рис. 3.3 а, рис. 3.3 б, рис. 3.3 в) и определим для каждой эквивалентной системы реакцию в точке крепления второго стержня, используя уравнение равновесия
:
;
;
;
Определим напряжения в стержнях от каждого из факторов.
Продольные силы и напряжения в стержнях от силы кН.
Так как , а
, то
;
.
Продольные силы и температурные напряжения в стержнях при их равномерном нагреве на .
;
;
(стержень растянут);
(стержень сжат).
Продольные силы и сборочные напряжения в стержнях в результате неточности изготовления 1-го стержня (короче на 0,08% ).
;
;
(стержень растянут);
(стержень сжат).
Суммарные продольные усилия и напряжения в стержнях от совокупности действия факторов.
;
;
;
;
Из результатов расчета видно, что в стержне №1 развиваются напряжения растяжения, превышающие допускаемую величину. Перегруз составляет 7,024 МПа, что в процентном соотношении от составляет:
, то есть меньше допускаемого процента перегруза. Во втором стержне развивается напряжение сжатия за счет температурного воздействия и неточности изготовления, которые значительно меньше допускаемого. То есть в целом конструкция работоспособна при заданных условиях нагружения.