Выпуклость и вогнутость кривой.

Точки перегиба.

Кривая обращена выпуклостью вверх на интервале (а, b), если все ее точки лежат ниже любой ее касательной на этом интервале. Кривая, обращенная выпуклостью вверх, называется выпуклой, а кривая, обращенная выпуклостью вниз – называется вогнутой.

Т. Если во всех точках интервала (a, b) вторая производная функции f(x) отрицательна, то кривая y = f(x) обращена выпуклостью вверх (выпукла).

Точка, отделяющая выпуклую часть кривой от вогнутой, называется точкой перегиба.

Очевидно, что в точке перегиба касательная пересекает кривую.

Т. Пусть кривая определяется уравнением y = f(x). Если вторая производная f¢¢(a) = 0 или f¢¢(a) не существует и при переходе через точку х = а f¢¢(x) меняет знак, то точка кривой с абсциссой х = а является точкой перегиба.

Необходимое ус-е перегиба: 2ая производная дважды дифференц-ой ф-ии в точке перегиба=0

Достаточн.ус-е перегиба: : если 2ая производная дважды дифференц-ой ф-ии при переходе через точке х0 меняет свой знак, то х0-точка перегиба графика.

34. Асимптоты.

асимптотой наз-ся прямая, к которой график ф-ии бесконечно приближ-ся, но не пересекает.Асимптоты м.б. прямые и наклонные.

Вертикальные асимптоты. Пусть ф-я y=f(x) определена к некот.окрестности х0,исключая саму эту точку и хотя бы один из пределов ф-ии слева или справа =бесконечности, тогда прямая х=х0 явл-ся вертик.асимптотой ф-ии. Вертик.асимп.след.искать в точках разрыва ф-ии или на концах её области определения не =бесконечности.

Гориз. Пусть ф-я y=f(x) определена при достаточно больших х и сущ-т предел limf(x)=b, тогда прямая y=b явл-ся горизонт.асимптотой. если конечен,т.е равен числу лишь один из пределов limf(x)=b, то говорят о левосторонней или правостор.гориз.асимп.

Наклонные асимптоты. Пусть ф-я определена при достаточно больших х и сущ-т пределы lim f(x)/x=k u lim(f(x)-k*x),тогда график ф-ии им.наклон.асимптоту

35. Схема исследования функций

Пр-с исслед-я ф-ии: 1) обл. значений и обл. определения функции., 2)проверить ф-ю на чётность\нечётность, переодич-ть, 3)точки пересеч-я с осями координат, 4)Точки разрыва. (Если они имеются), 5)Интервалы возрастания и убывания, 6)Точки макс. и мин., 7)макс. и мин. значение ф-ии на ее области определения, 8)Обл. выпуклости и вогнутости, 9)Точки перегиба.(Если они имеются),10)Асимптоты.(Если они имеются)., 11)Построение графика.

36. Дифференциал функции.

Пусть ф-я y = f(x) им. производную в точке х:

Тогда можно записать: , где a®0, при Dх®0.

Следовательно: .

Величина aDx- бесконечно малая более высокого порядка, чем f¢(x)Dx, т.е. f¢(x)Dx- главная часть приращения Dу.

Дифференциалом функции f(x) в точке х называется главная линейная часть приращения функции.Обозначается dy или df(x).

Из определения следует, что dy = f¢(x)Dx или dy = f¢(x)dx.

Св-ва дифференциала.

Если u = f(x) и v = g(x)- функции, дифференцируемые в точке х

1)d(u ± v) = (u ± v)¢dx = u¢dx ± v¢dx = du ± dv, 2)d(uv) = (uv)¢dx = (u¢v + v¢u)dx = vdu + udv, 3)d(Cu) = Cu’dx, 4) , 5) dC=0

Дифференциал 2го порядка-это дифференциал от дифференциала 1го порядка: .

Дифер-ом n-го порядка наз-ся дифер-л от дифер-ла nго порядка: )