В.14. Смешанное произведение векторов

Смешанным произведением трех векторов и называется число, определяемое соотношением

.

Если хотя бы один из векторов – нулевой, то их смешанное произведение равно нулю.

Геометрический смысл смешанного произведения векторов состоит в том, что его абсолютное значение равно объему V параллелепипеда, построенного на векторах приведенных к общему началу:

.

Свойства смешанного произведения

1) ;

2) ;

;

3) , где

4) при тогда и только тогда, когда – компланарные векторы;

5) векторы образуют базис в трехмерном пространстве при условии

6) если то векторы образуют правую тройку; если – левую.

В случае, когда векторы заданы в ортонормированном базисе координатами их смешанное произведение может быть найдено по формуле . (10)

Плоскость в пространстве

1. Положение плоскости P в пространстве относительно прямоугольной системы координат Oxyz однозначно определено, если задан радиус-вектор некоторой фиксированной точки и два некомпланарных вектора и , параллельных данной плоскости. В этом случае равенство где – радиус-вектор произвольной точки называется векторно-параметрическим уравнением плоскости P. Записав его в координатной форме получим параметрические уравнения плоскости.

2. Эту же плоскость можно задать одним из уравнений:

(1)

справедливость которых обусловлена условием компланарности векторов , и .

3. Координаты векторов и могут быть найдены, если известны три точки плоскости P, не лежащие на одной прямой:

В этом случае , . В результате имеем уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки, не лежащие на одной прямой.

4. Если известны точки пересечения плоскости P с координатными осями, т. е. M₀(a, 0, 0), M₁(0, b, 0), M₂(0, 0, c), то справедливо уравнение «в отрезках»:

5. Положение плоскости P в пространстве однозначно определено и в том случае, когда задан нулевой нормальный вектор и точка Условия перпендикулярности векторов и позволят перейти к векторному уравнению а затем к его координатной форме записи:

(2)

После преобразования последнего уравнения приходим к общему уравнению плоскости P:

где

6. Если в качестве нормального вектора плоскости P взять единичный вектор направленный из начала координат в сторону плоскости, то где Тогда справедливо нормальное уравнение плоскости

где – расстояние от начала координат до плоскости.

Величина , где называется отклонением точки от плоскости . При этом если и O(0, 0, 0) лежат по одну сторону от плоскости, – если лежат по разные, если Расстояние от точки до плоскости равно абсолютному значению ее отклонения, т. е.

.От общего уравнения плоскости к нормальному можно перейти с помощью умножения на нормирующий множитель

Значит, расстояние от точки до плоскости заданной общим уравнением может быть найдено по формуле

Угол между плоскостями в пространстве определяется по косинусу угла между нормальными векторами и этих плоскостей: