Перемена местами двух уравнений.
Пусть теперь .(Если
,то мы поменяем местами первое уравнение с тем уравнением, где коэффициент при
отличен от нуля). Исключим теперь
из всех уравнений системы, начиная со второго. Для этого ко второму уравнению прибавим первое уравнение, умноженное на (
), затем прибавим к третьему уравнению первое, умноженное на (
) и т.д. к последнему уравнению прибавим первое, умноженное на (
). При этом получим систему
(3.9)
Далее, применив те же рассуждения к системе (3.9) исключим из уравнений, начиная с третьего и т.д.
Продолжая этот процесс, мы придем к одному из двух случаев:
1. Либо после определенного шага получиться система, содержащая уравнение вида и
. Тогда наша система не имеет решений, т.е. несовместна.
2. Либо система не содержит уравнение вида и
. Тогда рано или поздно мы придем к системе
(3.10)
Возможны два случая:
a) . Тогда последнее уравнение системы (3.10) имеет вид:
, откуда
. Из предпоследнего уравнения находим
и т.д. из первого уравнения системы (3.10) находим
.
b) . Тогда система имеет бесчисленное множество решений.
Замечание. С практической точки зрения процесс решения системы (3.8) можно облегчить, если вместо преобразований над самой системой производить преобразования над соответствующей расширенной матрицей системы:
III. Метод обратной матрицы (матричный способ).
Пусть задана система 3хуравнений с тремя неизвестными
(3.12)
Рассмотрим три матрицы:
,
,
Тогда, пользуясь правилом умножения матриц, систему (3.12) можно записать в матичной форме:
(3.13)
Действительно, умножив матрицы левой части, получаем:
(3.14)
Из определения равенства двух матриц следует, что (3.12) и (3.14) равносильны. Коротко (3.13) записывают
(3.15)
Пусть определитель матрицы отличен от нуля, т.е.
. Тогда для матрицы
существует обратная матрица
. Умножим левую и правую части равенства (3.15) слева на матрицу
. Имеем:
(3.16)
Так как и
, то из (3.16) получаем
(3.17)
Таким образом, чтобы решить систему линейных уравнений (3.12) матричным методом необходимо: 1) Вычислить определитель системы и убедиться, что
(В случае, если
, то матрица
не имеет обратной матрицы и применить матричный метод нельзя); 2) Найти обратную матрицу
; 3) применить формулу
.
Комплексные числа в алгебраической, тригонометрической и показательной формах, действия над ними.
Понятие комплексного числа. Основные определения.
Числа вида , где а и b действительные числа, а
- мнимая единица, называются комплексными. Число «а» - называется действительной частью комплексного числа и обозначается так:
, число «b» называется мнимой частью и обозначается так:
.
Например, .
Комплексные числа называются сопряженными.
Два комплексных числа равны между собой тогда и только тогда, когда у них соответственно равны действительные и мнимые части
.
Относительно комплексных чисел не принято никакого соглашения, какое из них считать больше другого.
Действия над комплексными числами в алгебраической форме. Сложение, вычитание и умножение комплексных чисел.