Теорема 4 (второй признак экстремума функции).
Пусть – критическая точка функции
, дважды дифференцируемой в окрестности точки
. Тогда
является точкой локального минимума функции
, если
и точкой локального максимума, если
Теорема 5 (Вейерштрасса). Если функция непрерывна на отрезке
, то она достигает на нем своих наименьшего и наибольшего значений
Непрерывная на отрезке достигает наименьшего (наибольшего) значений либо на концах отрезка, либо в точках ее локального экстремума.
Для отыскания глобальных экстремумов функции на отрезке
необходимо:
1) найти производную
2) найти критические точки функции;
3) найти значения функции на концах отрезка, т. е. и
а также в критических точках, принадлежащих
4) из всех полученных значений функции определить наибольшее и наименьшее ее значения.
Теорема о выпуклости графиков.Если функция f(x) дважды дифференцируема в окрестности точки x0 и вторая производная строго меньше нуля, то график функции выпуклый, а если больше нуля, то – вогнутый.
Точка графика функции, в которой выпуклость сменяется вогнутостью (и наоборот) называется точкой перегиба.
Асимптотойк графику функции y = f(x) называется прямая линия, расстояние от которой до графика стремится к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат.
План исследования функции и построения графика
1. Найти область определения функции
.
2. Найти область значений (если это возможно вначале, часто
можно указать только по результатам исследования).
3. Исследовать функцию на четность.
4. исследовать на периодичность.
5. Найти точки пересечения с осями Ox (нули функции) и Oy.
6. Найти промежутки знакопостоянства функции.
7. Исследовать на непрерывность, дать классификацию разрывов.
8. Найти асимптоты графика функции (горизонтальную, вертикальную, наклонную).
9. Исследовать на монотонность и экстремум.
10. Исследовать на выпуклость, вогнутость, перегиб.
11. Построить график функции.
На множестве X задана структура метрического пространства, если задана функция двух переменных, называемая метрикой, удовлетворяющая следующим аксиомам: r(x; y) = r(y; x); r(x; y) = 0 Û y = x; " x, y, z r(x; z) £ r(x; y) + r(y; z).
Множество D на плоскости назовем открытым, если оно содержит каждую свою точку вместе с некоторой окрестностью.
Назовем точку z Î D предельной, если в каждой ее окрестности есть точки из множества D.
Если множествоD содержит все свои предельные точки, то оно называется замкнутым.
Предел функции нескольких переменных.Число A называется lim (x®x0,y®y0) Û " e > 0 $ d-окрестность точки (x0; y0) " (x; y) Î d- окрестности (x ¹ x0 и y ¹ y0) ïf(x, y) - Aï < e.
Непрерывность функции нескольких переменных. Функция z = f(x, y) называется непрерывной в точке (x0; y0), если она определена в окрестности этой точки и lim (x®x0, y®y0) f(x, y) = f(x0, y0) (по любому пути).
Частные производные.Назовем частным приращением по xследующее выражение Dxf = f(x + Dx, y) – f(x, y) и частным приращением по y следующее выражение Dyf = f(x, y + Dy) – f(x, y).
Частной производной по xназывается lim (Dx®0) Dxf/Dx = ¶f/¶x (x, y) = f’x.
Частной производной по yназывается lim (Dy®0) Dyf/Dy = ¶f/¶y (x, y) = f’y.
Если дифференцируемая функция принимает выражение Df = f’yDy +f’xDx + a(x, y) + b(x, y), где a/ÖDx²+Dy² ® 0 и b/ÖDx²+Dy² ® 0, то выражение f’xdx + f’ydy называется полным дифференциалом функции f и обозначается df.
Касательная плоскость.Касательная плоскость, проходящая через точку M0 некоторой поверхности имеет следующее свойство: угол между этой плоскостью и любой секущей MM0 (M Î плоскости) ® 0, при M ® M0.
Уравнение нормали в каноническом виде: (x –x0)/ (¶f/¶x) = (y – y0)/ (¶f/¶y) = (z – z0)/ (¶f/¶z)
Функцияz = f(x, y) имеет локальный максимумв точке (x0, y0), если в окрестности этой точки значение f’(x – x0) > f(x, y) " (x, y).