Решение однородных систем линейных уравнений.
Однородная система уравнений
(1)
есть частный случай системы (10.1). Легко видеть, что система (1) всегда имеет нулевое решение , и поэтому она совместна. Нулевое решение является единственным тогда, когда ранг матрицы системы равен количеству неизвестных n. В частности, это справедливо для невырожденной системы n уравнений с n неизвестными. Если ранг матрицы А системы (1) меньше n, то однородная система (1) будетиметь ненулевые решения. Например, однородная система n линейных уравнений с n неизвестными имеет ненулевые решения в том случае, если она вырождена.
18. Понятие вектора.По аналогии со школьным курсом геометрии дадим геометрическое толкование вектора, как направленного отрезка (п. 1.10) на плоскости или в пространстве.
Связанным вектором с началом в точке А и концом в точке В называют направленный отрезок АВ, в котором точка А является началом, а точка В – концом. Начало вектора называют еще точкой его приложения.
Векторы также обозначают одной буквой с чертой над ней, например, . Направление вектора на рисунке указывают стрелкой (рис. 1).
Рис. 1 |
Длина отрезка АВ называется также длиной
вектора
. Вектор нулевой длины называется нулевым и обозначается
или просто 0.
Векторы и
называются коллинеарными (параллельными), если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых, при этом пишут
.
Векторы и
называются одинаково направленными, если полупрямые
и
одинаково направлены, и противоположно направленными, если эти полупрямые противоположно направлены.
Отметим, что коллинеарные векторы могут быть направлены одинаково (сонаправлены, см. рис. 2б)) или противоположно направлены (см. рис. 2а)).
Векторы и
называются равными (
), если выполнены два условия:
а) ;
б) и
одинаково направлены.
Рис. 2а) Рис. 2б) |
![Решение однородных систем линейных уравнений. Решение однородных систем линейных уравнений. - student2.ru](/images/matematika/reshenie-odnorodnykh-sistem-lineynykh-uravneniy-578107-4.png)
![Решение однородных систем линейных уравнений. Решение однородных систем линейных уравнений. - student2.ru](/images/matematika/reshenie-odnorodnykh-sistem-lineynykh-uravneniy-578107-25.png)
![Решение однородных систем линейных уравнений. Решение однородных систем линейных уравнений. - student2.ru](/images/matematika/reshenie-odnorodnykh-sistem-lineynykh-uravneniy-578107-4.png)
![Решение однородных систем линейных уравнений. Решение однородных систем линейных уравнений. - student2.ru](/images/matematika/reshenie-odnorodnykh-sistem-lineynykh-uravneniy-578107-11.png)
Из определения равенства векторов следует, что каков бы ни был вектор и точка О, всегда можно построить единственный вектор
с началом в точке О, равный вектору
, или, как говорят, отнести начало вектора
к точке О
(см. рис. 3). Такие векторы в аналитической геометрии называютсвободными: их можно отнести к общему началу.Проекция вектора на ось. Пусть в пространстве заданы ось и некоторый вектор
. Проведем через точки А и В плоскости, перпендикулярные данной оси
и обозначим через
и
точки пересечения этих плоскостей с осью
(рис.4). В общем случае векторырасположены на скрещивающихся прямых. Для наглядности изображений далее, как правило, будут рассматриваться рисунки на плоскости.
Рис. 4 Рис. 5а) Рис. 5б)
Проекцией вектора на ось
называется величина
на оси
, которая обозначается
.
Согласно пункту 1.10, имеем: , если направление
совпадает с направлением оси
;
, если направление
противоположно направлению оси
.
Покажем, что имеет место равенство
, (1)
где – угол между вектором
и положительным направлением оси
.
19. Координаты вектора. Пусть в пространстве задана декартова система координат и произвольный вектор
. Обозначим:
и назовем эти числа
(проекции вектора
на оси координат) координатами вектора
. Будем писать
(символ
для краткости, как правило, далее опускаем).
Докажем, что для любых точек и
координаты вектора
определяются формулами:
. (2)
Длина вектора. Рассмотрим произвольный вектор считая, что его начало совпадает с началом координат
. Пусть вектор
не лежит ни в одной координатной плоскости.
Рис. 7 |
Известно, что квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений, т.е.
.
Но
Тогда имеем или
. (3)
Формула (3) выражает длину вектора через его координаты и справедлива и в том случае, если вектор будет лежать в какой-либо координатной плоскости (тогда в (3) одна из координат будет равна нулю).
Пример 1. Даны две точки и
Найти расстояние между ними.
Решение.Определим расстояние между точками А и В, как длину вектора
. □ (4)
Направляющие косинусы вектора.Обозначим через углы между вектором
и осями координат (рис.7). Из формул (1) и (3) получаем:
(5)
Числа называются направляющими косинусамивектора
.
Возводя в квадрат каждое из равенств (5) и складывая полученные результаты, получим
(6)
т.е. сумма квадратов направляющих косинусов любого вектора равна единице.
20.Линейными операциями над векторами называют операции сложения векторов и умножения вектора на число.
Пусть даны два вектора и
. Суммой
называется вектор, который имеет началом начало вектора
и концом – конец вектора
при условии, что начало вектора
совпадает с концом вектора
(или диагональ параллелограмма, построенного на векторах
и
).
Отсюда следует, что сумму неколлинеарных векторов и
можно найти по правилу треугольника (рис. 8а)) или параллелограмма (рис. 8б)).
Рис. 8а) Рис. 8б)
По определению суммы двух векторов можно найти сумму любого числа заданных векторов. В частности, пусть заданы три вектора и
. Сложив
и
, получим вектор
Прибавив к нему вектор
, получим вектор
Разностью векторов
и
называется вектор
, который в сумме с вектором
дает вектор
.
Пусть даны вектор и число
Произведением
называют вектор, который коллинеарен вектору
, имеет длину, равную
, и направление такое же, как и вектор
, если
, и противоположное, если
(рис. 9). Если среди сомножителей
есть 0, то под произведением
понимается нулевой вектор.
Рис. 9 |
![Решение однородных систем линейных уравнений. Решение однородных систем линейных уравнений. - student2.ru](/images/matematika/reshenie-odnorodnykh-sistem-lineynykh-uravneniy-578107-121.png)
![Решение однородных систем линейных уравнений. Решение однородных систем линейных уравнений. - student2.ru](/images/matematika/reshenie-odnorodnykh-sistem-lineynykh-uravneniy-578107-68.png)
![Решение однородных систем линейных уравнений. Решение однородных систем линейных уравнений. - student2.ru](/images/matematika/yellips-i-ego-kanonicheskoe-uravnenie-578100-53.png)
![Решение однородных систем линейных уравнений. Решение однородных систем линейных уравнений. - student2.ru](/images/matematika/reshenie-odnorodnykh-sistem-lineynykh-uravneniy-578107-68.png)
![Решение однородных систем линейных уравнений. Решение однородных систем линейных уравнений. - student2.ru](/images/matematika/yellips-i-ego-kanonicheskoe-uravnenie-578100-53.png)
![Решение однородных систем линейных уравнений. Решение однородных систем линейных уравнений. - student2.ru](/images/matematika/reshenie-odnorodnykh-sistem-lineynykh-uravneniy-578107-126.png)
![Решение однородных систем линейных уравнений. Решение однородных систем линейных уравнений. - student2.ru](/images/matematika/reshenie-odnorodnykh-sistem-lineynykh-uravneniy-578107-127.png)
![Решение однородных систем линейных уравнений. Решение однородных систем линейных уравнений. - student2.ru](/images/matematika/reshenie-odnorodnykh-sistem-lineynykh-uravneniy-578107-121.png)
Утверждение 1.Если векторы и
коллинеарны и
, то существует единственное число
, что
.