Интеграл по комплексному переменному
Пусть - непрерывная функция комплексного
, определенная в области
и
- гладкая кривая, лежащая в
, с началом в точке
и концом в точке
(рис. 137), заданная уравнением
или, что все равно, двумя уравнениями
. (1)
Рис. 137
Как всегда, направление на соответствует изменению параметра
от
до
.
Интеграл от функции вдоль кривой
определяется следующим образом:
.
Если учесть, что и
, то равенство (2) можно коротко записать так:
. (3)
Таким образом, из (2) видно, что интеграл по комплексному переменному есть сумма двух криволинейных интегралов, и его вычисление сводится к вычислению обыкновенных интегралов.
Интеграл (2) существует для любой непрерывной функции (в этом случае функции
и
также непрерывны) и любой гладкой кривой
(т. е. когда
,
) непрерывны и
).
Если кривая кусочно-гладкая и состоит из гладких ориентированных кусков
, то по определению считаем
. (4)
На основании свойств криволинейного интеграла легко получаем
1)
,
где та же кривая, что и
, но ориентированная противоположно (см. нашу книгу «Высшая математика. Дифференциальное и интегральное исчисление», § 7.4).
2)
,
где - постоянные числа.
3)
Если при
, то
,
где - длина
.
В самом деле, на основании свойства обыкновенного интеграла имеем
.
Теорема Коши. Интеграл Коши
Результат, полученный в примере 3-5, является частным случаем теоремы Коши и, если является аналитической (или только дифференцируемой) функцией в области
комплексной плоскости, то интеграл по любой замкнутой кривой
от
равен нулю:
![]() | (48) |
Теорема Коши имеет несколько важных следствий:
![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ||
![]() | (49) | ||
Рис.17 | |||
где все участки границы обходятся в положительном направлении, т. е. когда захватываемая область остается слева при движении вдоль каждой кривой ;
значение интеграла
от функции
по некоторой кривой, соединяющей точки
и
, т. е.:
![]() | (50) |
будет аналитической функцией переменной , причем
. Функция
(50) называется первообразной, и для нее имеет место комплексный аналог формулы Ньютона-Лейбница:
![]() | (51) |
Ряд Лорана
Ряд Лорана. Пусть функция f(z) аналитична в кольце ρ ≤ |z − z0| ≤ R. Тогда для любой точки этого кольца ; при этом окружности проходятся так, что область остаётся слева (следствие 3 раздела 19.7.2. Интегральная формула Коши). Изменим в интеграле по внутренней окружности направление обхода на противоположное:
. Интеграл по внешней окружности преобразуем так, как и при выводе формулы Тейлора:
(так как | z – z0| < | t – z0| , то
)
, и ряд сходится абсолютно, поэтому его можно почленно интегрировать:
, где
. Интеграл по внутренней окружности преобразуем аналогично, учитывая только, что на Lρ | t – z0| < | z – z0| :
. И здесь ряд сходится абсолютно, поэтому его можно почленно интегрировать:
,
где
. Переобозначим n → −n, тогда форма коэффициентов ряда для Lρ совпадёт с формой коэффициентов ряда для LR:
поэтому окончательно для интеграла по Lρ получим
. Докажем, что и контур для вычисления коэффициентов может быть взят один и тот же. Действительно, пусть Γ - кусочно-гладкий контур, расположенный в кольце ρ ≤ |z − z0| ≤ R, и точка z0 расположена внутри этого контура. По теореме Коши для многосвязной области
;
, поэтому для любого n
, и
.
Этот ряд (содержащий и положительные, и отрицательные степени (z – z0), называется рядом Лорана функции f(z). Его часть, содержащая неотрицательные степени ( ), называется правильной; часть, содержащая отрицательные степени (
), называется главной. Правильная часть, по самому своему построению, сходится в круге | z – z0| ≤ R, главная - во внешности круга | z – z0| ≥ ρ, поэтому весь ряд сходится в пересечении этих областей, т.е. в кольце ρ ≤ | z – z0| ≤ R. Так же, как и для ряда Тейлора, разложение в ряд Лорана единственно.
Еще раз подчеркнем, что в ряд Лорана раскладывается функция, аналитическая в кольце, и ширина этого кольца определяется областью аналитичности функции, т.е. разложение теряет смысл там, где функция теряет аналитичность. Рассмотрим