ДУ высших порядков. Общее и частное решение

Основные понятия

Многие задачи математики, механики, электротехники и других технических наук приводят к линейным дифференциальным уравнениям. Уравнение вида

где bo(x) ≠ 0, b1(x),..., bn(x), g(x) - заданные функции (от х), называется линейным ДУ n-го порядка.

Оно содержит искомую функцию у и все ее производные лишь в первой степени. Функции bo(x), b1(x),..., bn(x) называются коэффициентами уравнения (3.11), а функция g(x) - его свободным членом.

Если свободный член g(x)=0, то уравнение (3.11) называется линейным однородным уравнением; если g(x) ≠ 0, то уравнение (3.11) называется неоднородным.

Разделив уравнение (3.11) на bo(x) ≠ 0 и обозначив

запишем уравнение (3.11) в виде приведенного:

Далее будем рассматривать линейные ДУ вида (3.12) и считать, что коэффициенты и свободный член уравнения (3.12) являются непрерывными функциями (на некотором интервале (а;b)). При этих условиях справедлива теорема существования и единственности решения ДУ (3.12) (см. теорему. 3.1).

12.Уравнение вида

Найти общий интеграл этого уравнения. Проинтегрируем по х все части, принимая во внимание

-любое фиксированное значение

-постоянная интегрирований получаем:

Чтобы найти часное решение, удовлетв начальному условиям, достаточно положить:

Некоторые типы ДУ приводящие к уравнениям первого порядка

Линейное однородное уравнение. Свойства. Определитель Вронского

Формула Лиувиля

Теорема 14.5.6.1. Определитель Вронского системы y1(x), y2(x), …, yn(x) решений однородного уравнения удовлетворяет уравнению где p1(x) - коэффициент при n - 1 производной.

Док-во. Докажем эту теорему для уравнения второго порядка Пусть y1(x), y2(x) - частные решения этого уравнения, тогда , . Так как y1(x), y2(x) - решения уравнения, то ,

. Умножим первое из этих уравнений на - y2(x), второе - на y1(x) и сложим:

В первой из квадратных скобок стоит W(x), во второй - , поэтому , что и требовалось доказать.

Для доказательства этой теоремы в общей случае надо знать правило дифференцирования функциональных определителей: производная определителя n-го порядка равна сумме n определителей, которые получаются из исходного определителя построчным дифференцированием. Для определителя Вронского

так как первые n - 1 определитель содержат равные строки и равны нулю. Каждая из функций y1(x), y2(x), …, yn(x) удовлетворяет уравнению поэтому, поставив эти выражения в последнюю строку и пользуясь свойствами определителей, получим

т.е. .

Решим это уравнение относительно W(x). Функция W(x) = 0 является решением этого уравнения; если то Интегрируем последнее выражение в пределах от x0 до x: (Мы отбросили знак модуля у дроби, так как W(x) - непрерывная функция, не обращающаяся в нуль, поэтому значения W(x) и W(x0) всегда имеют один знак). Окончательно . (28)

Формула (28)называется формулой Лиувилля. Из неё также следуют результаты предыдущих разделов: если W(x0) = 0, то ; если , то ни в одной точке интервала (a, b).