Ограниченная функция. Теорема об ограниченности функции.
Если функция f(x) имеет предел в точке a ,то она ограниченна
в некоторой окрестности точки a.
Теорема о произведении б.м функции на ограниченную
Произведение бесконечно малой при функции на ограниченную в
некоторой окрестности точки а функцию есть бесконечно малая функция при .
Теорема о делении б.м функции на функцию, предел которой отличен от 0.
Теорема о единственности предела функции. Теорема о существовании предела.
Теорема о существовании предела.Функция не может иметь более одного предела.
Следствие. Если две функции f(x) и g(x) равны в некоторой окрестности точки , за исключением, может быть, самой точки
, то либо они имеют один и тот же предел при
, либо обе не имеют предела в этой точке. Если последовательность монотонно возрастает и ограниченна сверху, то она имеет предел.
Теорема сравнения.
в теории дифференциальных уравнений- теорема, утверждающая наличие определенного свойства решений дифференциального уравнения (или системы дифференциальных уравнений) в предположении, что некоторым свойством обладает вспомогательное уравнение или неравенство (система дифференциальных уравнении пли неравенств).
1) Теорема Ш т у р м а: любое нетривиальное решение уравнения обращается в нуль на отрезке [t0, t1] не более т раз если этим свойством обладает уравнение и при .
2) Дифференциальное неравенство: решение задачи покомпонентно неотрицательно при если этим свойством обладает решение задачи и выполнены неравенства
Предел суммы, произведения, частного.
1)Предел суммы двух функций равен сумме их пределов: 2)Предел произведения двух функций равен произведению их пределов:
3)Предел частного двух функций равен пределу делимого, деленного на предел делителя, если предел делителя не равен :
Теорема о промежуточной функции
одна из простейших теорем, изучаемых в рамках курса математического анализа.
Пусть в некоторой окрестности точки
функция
заключена между двумя функциями
и
, имеющими одинаковый предел
при
, то есть
.
Тогда .
Доказательство. Из неравенства получаем неравенство
. Условие
позволяет предположить, что для любого
существует окрестность
, в которой верны неравенства
и
. Из изложенной выше оценки максимумом следует, что
при
, что удовлетворяет определению предела, то есть
.
Первый замечательны предел.
При вычислении пределов выражений, содержащих тригонометрические функции, часто используют предел называемый первым замечательным пределом.
Читается: предел отноешния синуса к его аргументу равен единице, когда аргумент стремится к нулю.
Доказательство:
Возьмем круг радиуса 1, обозначим радианную меру угла МОВ через х. пусть 0<x< . На рисунке
, дуга МВ численно равна центральному углу х,
. Очевидно, имеем
. На основании соответствующих формул геометрии получаем
. Разделим неравенство на
>0, Получим 1<
Так как , то по признаку ( о пределе промежуточной функции) существования пределов
.
А если x<0 => , где –x>0 =>
83. Второй замечательный предел.
Как известно, предел числовой последовательности , имеет предел равный e.
. 1.Пусть
. Каждое значение x заключено между двумя положительными целыми числами:
, где n=[x] – это целая часть x. Отсюда следует
, поэтому
. Если
, то
. Поэтому:
,
. По признаку существования пределов:
. 2. Пусть
. Сделаем подстановку –x=t, тогда
=
.
и
называются вторым замечательным пределом. Они широко используются при вычислении пределов. В приложениях анализа большую роль играет показательная функция с основанием e. Функция
называется экспоненциональной, употребляется также обозначение
.