Расчёт коэффициентов уравнений линейной регрессии
Как уже было сказано выше, в случае линейной зависимости уравнение регрессии является уравнением прямой линии.
Различают
У = ау/х +bу/х×Х - прямое уравнение регрессии;
Х = ах/у+bх/у ×Y - обратное уравнение регрессии.
Здесь а и b – коэффициенты, или параметры, которые определяются по формулам. Значение коэффициента b вычисляется
Из формул видно, что коэффициенты регрессии bу/х и bх/у имеют тот же знак, что и коэффициент корреляции, размерность, равную отношению размерностей изучаемых показателей Х и У, и связаны соотношением:
Для вычисления коэффициента а достаточно подставить в уравнения регрессии средние значения коррелируемых переменных
График теоретических линий регрессии (рис. 17) имеет вид:
Рис 17. Теоретические линии регрессии
Из приведённых выше формул легко доказать, что угловые коэффициенты прямых регрессии равны соответственно
Так как 
, то 
. Это означает, что прямая регрессии Y на Х имеет меньший наклон к оси абсцисс, чем прямая регрессии Х на Y.
Чем ближе 
к единице, тем меньше угол между прямыми регрессии. Эти прямые сливаются только тогда, когда 
.
При 
прямые регрессии описываются уравнениями 
, 
.
Таким образом, уравнения регрессии позволяют:
· определить, насколько изменяется одна величина относительно другой;
· прогнозировать результаты.
Методика выполнения расчётно-графической работы №2
Расчётно-графическая работа содержит 4 раздела.
В первом разделе:
3. Формулируется тема;
4. Формулируется цель работы.
Во втором разделе:
3. Формулируется условие задачи;
4. Заполняется таблица исходных данных выборки.
В третьем разделе:
4. Результаты измерений представляются в виде вариационного ряда;
5. Даётся графическое представление вариационного ряда.
6. Формулируется вывод.
В четвёртом разделе:
3. Рассчитываются основные статистические характеристики ряда измерений;
4. По итогам расчётов формулируется вывод.
Оформление работы:
3. Работа выполняется в отдельной тетради или на форматных листах.
4. Титульный лист заполняется по образцу.
Российский Государственный Университет
физической культуры, спорта, молодёжи и туризма
Кафедра естественнонаучных дисциплин
Корреляционный и регрессионный анализы
Расчётно-графическая работа №2
по курсу математики
Выполнил: студент 1 к. 1 пот. 1гр.
Иванов С.М.
Преподаватель :
доц. кафедры ЕНД и ИТ
(Ф.И.О.)
Москва – 2012
(Пример оформления титульного листа)
Пример выполнения расчётно-графической работы №2.
Тема работы: Корреляционный и регрессионный анализы.
Цель работы: Определить взаимосвязь показателей двух выборок.
Ход выполнения работы:
1.Придумать две выборки из своего вида спорта с одинаковым объемом n.
2.Нарисовать корреляционное поле, сделать предварительный вывод.
3.Рассчитать коэффициент корреляции Бравэ-Пирсона и сделать вывод.
4.Определить достоверность коэффициента корреляции и сделать окончательный вывод.
5.Рассчитать коэффициент детерминации и сделать вывод о степени взаимосвязи показателей двух выборок.
6.Рассчитать коэффициенты прямого и обратного уравнений регрессии.
7.Построить теоретические линии регрессии на корреляционном поле и показать точку их пересечения.
1. Условие задачи: У группы спортсменов определяли результаты в беге на 100 м с барьерами Xi (с) и прыжках в длину Yi (м) (табл.). Проверить, существует ли корреляционная связь между исследуемыми признаками и определить достоверность коэффициента корреляции.
Таблица исходных данных выборки:Результаты приведены в таблице исходных данных.
Таблица 6
Результаты бега и прыжка
| № п/п | |||||||||
| Xi, с | 13,68 | 13,34 | 13,75 | 13,51 | 13,53 | 13,7 | 13,45 | 13,72 | 13,61 |
| Yi, м | 6,35 | 6,83 | 6,25 | 6,38 | 6,42 | 6,35 | 6,51 | 6,06 | 6,22 |
| № п/п | |||||||||
| Xi, с | 13,84 | 13,91 | 13,46 | 13,5 | 13,6 | 13,35 | 13,42 | 13,8 | 13,5 |
| Yi, м | 6,20 | 6,00 | 6,50 | 6,65 | 6,55 | 6,75 | 6,60 | 6,18 | 6,55 |
Решение:
2. Построим корреляционное поле (диаграмму рассеяния) и сделаем предварительный вывод относительно связи между исследуемыми признаками.
Рис 18. Корреляционное поле
Предварительный вывод:
Связь между показателями результатов в беге на 100 м с барьерами Xi (с) и прыжками в длину Yi (см):
· линейная;
· отрицательная;
· сильная.
3. Рассчитаем парный линейный коэффициент корреляции Бравэ – Пирсона, предварительно рассчитав основные статистические показатели двух выборок. Для их расчёта составим таблицу, в которой предпоследний и последний столбцы необходимы для расчёта стандартных отклонений, если они неизвестны. Для нашего примера эти значения рассчитаны в первой расчётно-графической работе, но для наглядности покажем расчёт дополнительно.
Таблица 7
Вспомогательная таблица для расчета коэффициента
корреляции Бравэ – Пирсона
| № | Xi, с | Yi, см |  |  |  |  |  |
| 13,68 | 6,35 | 0,09 | -0,06 | -0,005 | 0,0081 | 0,0036 | |
| 13,34 | 6,83 | -0,25 | 0,42 | -0,105 | 0,0625 | 0,18 | |
| 13,75 | 6,25 | 0,16 | -0,16 | -0,03 | 0,0256 | 0,0256 | |
| 13,51 | 6,38 | -0,08 | -0,03 | 0,0024 | 0,0064 | 0,0009 | |
| 13,53 | 6,42 | -0,06 | 0,01 | -0,0006 | 0,0036 | 0,0001 | |
| 13,7 | 6,35 | 0,11 | -0,06 | -0,0066 | 0,0121 | 0,0036 | |
| 13,45 | 6,51 | -0,14 | 0,1 | -0,014 | 0,0196 | 0,01 | |
| 13,72 | 6,06 | 0,13 | -0,35 | -0,0455 | 0,0169 | 0,1225 | |
| 13,61 | 6,22 | 0,02 | -0,19 | -0,004 | 0,0004 | 0,0361 | |
| 13,84 | 6,20 | 0,25 | -0,21 | -0,0525 | 0,0625 | 0,0441 | |
| 13,91 | 6,00 | 0,32 | -0,41 | -0,1312 | 0,1024 | 0,1681 | |
| 13,46 | 6,50 | -0,13 | 0,09 | -0,0117 | 0,0169 | 0,0081 | |
| 13,5 | 6,65 | -0,09 | 0,24 | -0,0216 | 0,0081 | 0,0576 | |
| 13,6 | 6,55 | 0,01 | 0,14 | 0,0014 | 0,0001 | 0,0196 | |
| 13,35 | 6,75 | -0,24 | 0,34 | -0,0816 | 0,0576 | 0,1156 | |
| 13,42 | 6,60 | -0,17 | 0,19 | -0,0323 | 0,0289 | 0,0361 | |
| 13,8 | 6,18 | 0,21 | -0,23 | -0,0483 | 0,0441 | 0,0529 | |
| 13,5 | 6,55 | -0,09 | 0,14 | -0,0126 | 0,0081 | 0,0196 | |
| n=18 |  13,59 |  6,41 | ∑=-0,6015 | ∑=0,4839 | ∑=0,9041 |
sx = 
,
sy = 
,
.
Полученное значение коэффициента корреляции позволяет подтвердить предварительный вывод и сделать окончательное заключение – связь между исследуемыми признаками:
· линейная;
· отрицательная;
· сильная.
4. Определим достоверность коэффициента корреляции.
Предположим, что связь между результатом в беге на 100 м и прыжком в длину отсутствует (Но: r=0).
· 
.
· Находим 
= 2,12 для α = 0,05 и n = n - 2 = 16.
· tрасчет > tтабл (19,6 > 2,12).
Вывод: существует сильная, отрицательная статистически достоверная (р=0,95) связь между бегом с препятствиями на дистанцию 100 м и прыжком в длину. Это означает, что с улучшением результата в прыжке в длину уменьшается время пробега дистанции 100 м.
5. Вычислим коэффициент детерминации:
.
Следовательно, только 96% взаимосвязи результатов в беге на 100 м с барьерами и в прыжке в длину объясняется их взаимовлиянием, а остальная часть, т. е. 4% объясняется влиянием других неучтённых факторов.
6. Рассчитаем коэффициенты прямого и обратного уравнений регрессии, воспользовавшись формулами, подставим значения рассчитанных коэффициентов в соответствующую формулу и запишем прямое и обратное уравнения регрессии:
Y = а1 + b1×Х - прямое уравнение регрессии;
Х = а2 + b2 ×Y - обратное уравнение регрессии.
Воспользуемся результатами расчёта, приведёнными выше:
sx = 
; sy = 
; 
; 13,59; 6,4,
Рассчитаем коэффициент b1, воспользовавшись формулой:
Для расчета коэффициента а1 подставим в прямое уравнение регрессии вместо b1 рассчитанное значение, а вместо Х и Y средние арифметические значения двух выборок из таблицы:
Подставим полученные значения коэффициентов а1 и b1 в прямое уравнение регрессии и запишем уравнение прямой линии:
Y = 22 - 1,15×Х
Рассчитаем коэффициент b2, воспользовавшись формулой:
Для расчета коэффициента а2 подставим в прямое уравнение регрессии вместо b2 рассчитанное значение, а вместо Х и Y средние арифметические значения двух выборок из таблицы:
Подставим полученные значения коэффициентов а1 и b1 в прямое уравнение регрессии и запишем уравнение прямой линии:
Х = 18,92 - 0,83×Y
Таким образом, мы получили прямое и обратное уравнения регрессии:
Y = 22 - 1,15×Х - прямое уравнение регрессии;
Х = 18,92 - 0,83×Y - обратное уравнение регрессии.
Для проверки правильности расчётов достаточно подставить в прямое уравнение среднее значение 
и определить значение Y. Полученное значение Y должно быть близким или равным среднему значению 
.
Y = 22 - 1,15× 
= 22 - 1,15×13,59 = 6,4 = .
При подстановке в обратное уравнение регрессии среднего значения , полученное значение Х должно быть близким или равным среднему значению .
Х = 18,92 - 0,83× = 18,92 - 0,83× 6,4 = 13,6 = .
7.Построим линии регрессии на корреляционном поле.
Для графического построения теоретических линий регрессии, как и для построения любой прямой, необходимо иметь две точки из диапазона значений Х и Y.
Причём, в прямом уравнении регрессии независимая переменная Х, а зависимая Y, а в обратном – независимая переменная Y, а зависимая Х.
Y = 22 - 1,15×Х
| X | 13,42 | 13,8 |
| Y | 6,57 | 6,13 |
Х = 18,92 - 0,83×Y
| Y | 6,2 | 6,6 |
| X | 13,77 | 13,44 |
Координатами точки пересечения линий прямого и обратного уравнений регрессии являются значения средних арифметических двух выборок (с учётом погрешностей округлений при приближённых расчётах).
Вывод:зная результат бега с препятствиями на дистанцию 100 м, по прямому уравнению регрессии, можно теоретически определить результат прыжка в длину; и наоборот, зная результат прыжка в длину по обратному уравнению регрессии, можно определить результат бега с препятствиями.
ПРИЛОЖЕНИЕ
| Таблица 1 | |||||
| Критические значения t-критерия Стьюдента | |||||
| Число степеней свободы ν | Уровень значимости a для двусторонней критической области | ||||
| 0,1 | 0,05 | 0,01 | 0,005 | 0,001 | |
| ¥ | 2,9200 2,1318 1,9432 1,8595 1,8125 1,7823 1,7613 1,7459 1,7341 1,7247 1,7171 1,7109 1,7056 1,7011 1,6973 1,6939 1,6909 1,6883 1,6860 1,6839 1,6759 1,6706 1,6669 1,6641 1,6620 1,6602 1,6588 1,6576 1,6449 | 4,3027 2,7765 2,4469 2,3060 2,2281 2,1788 2,1448 2,1199 2,1009 2,0860 2,0739 2,0639 2,0555 2,0484 2,0423 2,0369 2,0322 2,0281 2,0244 2,0211 2,0086 2,0003 1,9944 1,9901 1,9867 1,9840 1,9818 1,9799 1,9600 | 9,9250 4,6041 3,7074 3,3554 3,1693 3,0545 2,9768 2,9208 2,8784 2,8453 2,8188 2,7970 2,7787 2,7633 2,7500 2,7385 2,7284 2,7195 2,7116 2,7045 2,6778 2,6603 2,6479 2,6387 2,6316 2,6259 2,6213 2,6174 2,5758 | 14,0892 5,5975 4,3168 3,8325 3,5814 3,4284 3,3257 3,2520 3,1966 3,1534 3,1188 3,0905 3,0669 3,0470 3,0298 3,0149 3,0020 2,9905 2,9803 2,9712 2,9370 2,9146 2,8987 2,8870 2,8779 2,8707 2,8648 2,8599 2,8070 | 31,5998 8,6101 5,9587 5,0414 4,5868 4,3178 4,1403 4,0149 3,9217 3,8496 3,7922 3,7454 3,7067 3,6739 3,6460 3,6218 3,6007 3,5821 3,5657 3,5510 3,4960 3,4602 3,4350 3,4164 3,4019 3,3905 3,3811 3,3734 3,2905 |
| Число степеней свободы ν | 0,05 | 0,025 | 0,005 | 0,0025 | 0,0005 |
| Уровень значимости a для односторонней критической области |
| Таблица 2 | ||||||||||||||||||
| Критические значения F-критерия Фишера-Снедекора (ν1 - число степеней свободы большей дисперсии; ν2 - число степеней свободы меньшей дисперсии) | ||||||||||||||||||
| Уровень значимости a = 0,05 | ||||||||||||||||||
| ν2 | ν1 | |||||||||||||||||
| 6,39 5,19 4,53 4,12 3,84 3,63 3,48 3,36 3,26 3,11 3,01 2,87 2,78 2,69 2,61 2,56 2,50 2,46 | 6,26 5,05 4,39 3,97 3,69 3,48 3,33 3,20 3,11 2,96 2,85 2,71 2,62 2,53 2,45 2,40 2,35 2,30 | 6,16 4,95 4,28 3,87 3,58 3,37 3,22 3,09 3,00 2,85 2,74 2,60 2,51 2,42 2,34 2,29 2,23 2,19 | 6,09 4,88 4,21 3,79 3,50 3,29 3,14 3,01 2,92 2,77 2,66 2,52 2,43 2,34 2,25 2,20 2,14 2,10 | 6,04 4,82 4,15 3,73 3,44 3,23 3,07 2,95 2,85 2,70 2,59 2,45 2,36 2,27 2,18 2,13 2,07 2,03 | 6,00 4,78 4,10 3,68 3,39 3,18 3,02 2,90 2,80 2,65 2,54 2,40 2,30 2,21 2,12 2,07 2,01 1,97 | 5,96 4,74 4,06 3,63 3,34 3,13 2,97 2,86 2,76 2,60 2,49 2,35 2,26 2,16 2,07 2,02 1,97 1,92 | 5,93 4,70 4,03 3,60 3,31 3,10 2,94 2,82 2,72 2,56 2,45 2,31 2,22 2,12 2,04 1,98 1,93 1,88 | 5,91 4,68 4,00 3,57 3,28 3,07 2,91 2,79 2,69 2,53 2,42 2,28 2,18 2,09 2,00 1,95 1,89 1,85 | 5,87 4,64 3,96 3,52 3,23 3,02 2,86 2,74 2,64 2,48 2,37 2,23 2,13 2,04 1,95 1,90 1,84 1,79 | 5,84 4,60 3,92 3,49 3,20 2,98 2,82 2,70 2,60 2,44 2,33 2,18 2,09 1,99 1,90 1,85 1,79 1,75 | 5,80 4,56 3,87 3,44 3,15 2,93 2,77 2,65 2,54 2,39 2,28 2,12 2,02 1,93 1,84 1,78 1,72 1,68 | 5,74 4,50 3,81 3,38 3,08 2,86 2,70 2,57 2,46 2,31 2,20 2,04 1,94 1,84 1,74 1,69 1,62 1,57 | 5,71 4,46 3,77 3,34 3,05 2,82 2,67 2,53 2,42 2,27 2,16 1,99 1,89 1,79 1,69 1,63 1,56 1,51 | 5,70 4,44 3,75 3,32 3,03 2,80 2,64 2,50 2,40 2,24 2,13 1,96 1,86 1,76 1,66 1,60 1,53 1,48 | 5,68 4,42 3,72 3,29 3,00 2,77 2,61 2,47 2,36 2,21 2,09 1,92 1,82 1,72 1,61 1,55 1,47 1,42 | 5,66 4,40 3,71 3,28 2,98 2,76 2,59 2,45 2,35 2,19 2,07 1,90 1,80 1,69 1,59 1,52 1,45 1,39 | ||