Дать определение дифференциала функции и раскрыть его геометрический смысл.

БИЛЕТ

производная функция
1.Производная функция в данной точке наз. Предел отношения приращения функции к соответствующему приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю. (Lim(дел.x->0)дельта y/дельта x) =Lim(дел.x->0)f(x0+дельтаx)-f(x0)/дельта x.
2.Основное свойство производной функции:функция имеющая производную в точке является непрерывной в этой точке. Обратное утверждение неверно.

БИЛЕТ

касательной и Геометрический смысл производной функции ,уравнение нормли
1. Геометрический смысл производной функции-На графике функции выбирается абсцисса x0 и вычисляется соответствующая ордината f(x0). В окрестности точки x0 выбирается произвольная точка x. Через соответствующие точки на графике функции F проводится секущая. Расстояние (дельта)x=x—x0 устремляется к нулю, в результате секущая переходит в касательную . Тангенс угла L наклона этой касательной — и есть производная в точке x0.
Если функция f:U(x0)->R имеет конечную производную в точке x0, то в окрестности U(x0) её можно приблизить линейной функцией.
2. Уравнения касательной и нормали к кривой в точке с абсциссой x0 .
уравнение касательной y=f(x0)+f'(x0)*(x-x0)
Уравнение нормали: y=y0-(1/f'(x0))*(x-x0)

БИЛЕТ

Сложная функция и правила .дифференцирования сложной функции
1.Сложная функция, функция от функции. Если величина y является функцией от u, то есть у = f (u), а и, в свою очередь, функцией от х, то есть u = j(х), то у является Сложная функция от х, то есть y = f [(x)], определённой для тех значений х, для которых значения j(х) входят в множество определения функции f (u).
2. формула и правило дифференцирования сложной функции.
Дифф.ф-ии нескольких перем.назыв.главная часть приращ.ф-ии пропорц.приращ.независимых переменных
dz=дz/дx *dx+дz/дx *dy

БИЛЕТ

функция задана параметрически ,от диффернциала .функции
1. Функция y=y(x)заданная параметрически - Зависимость величины y от величины x , заданная через зависимость каждой из них от параметра t в виде x=ф(t),y=q(t)
2.Сформулируйте теорему о дифференцировании функции, заданной параметрическими уравнениями: x=x(t); y=y(t) где t -переменная
2.1.Найдем производную у'(основ.-х), считая, что функции имеют производные и что функция х=x(t) имеет обратную t=ф(х). По правилу дифференцирования обратной функции:
t'(основ.x)=1/x'(основ.t)
2.2.Функцию у=f(х), определяемую параметрическими уравнениями, можно рассматривать как сложную функцию у=y(t), где t=ф(х). По правилу дифференцирования сложной функции имеем: у'(основ.-х)=y'(t)*t'(x). С учетом равенства получаем:
y'(z)=y'(t)*1/x'(t)

БИЛЕТ

Неявная функция и дифференцирование
1. неявная функция-если каждой паре (x;y) знач.2-ух независимых переменных из области W ставится определ.знач. z, то говорят,что z есть ф-ия 2-ух переменных (x;y)
2. правило дифференцирования неявной функции:
Для нахождения производной считаем, что в уравнении y зависит от x ,иначе F(x,y(x))=0. Другими словами дифференцируем уравнение F(x,y(x))=0,считая y сложной функцией, зависящей от x

БИЛЕТ

Дать определение дифференциала функции и раскрыть его геометрический смысл.

Дифференциалом функции у=f(х) в точке х называется главная часть ее приращения, равная произведению производной функции на приращение аргумента, и обозначается dу (или df(х)): dy=f'(х)*дел.х.
2.свойства дифференциала.
1) Дифференциал постоянной равен нулю:
dc = 0, с = const.
2) Дифференциал суммы дифференцируемых функций равен сумме дифференциалов слагаемых:
d(u+v)=du + dv.
Следствие. Если две дифференцируемые функции отличаются постоянным слагаемым, то их дифференциалы равны
d(u+c) = du (c= const).
3) Дифференциал произведения двух дифференцируемых функций равен произведению первой функции на дифференциал второй плюс произведение второй на дифференциал первой:
d(uv) = udv + vdu.
Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак дифференциала
d(cu) = cdu (с = const).

БИЛЕТ

Св-ва дифференциалов:

1) dc=0; c=const;

2) Диф. алгебраической суммы дифференцируемых ф-ций равен алгебраической сумме дифференциалов этих ф-ций. u=u(x); V=V(x); W=W(x); d(u+v-w) = du+dv-dw.

3) Если две дифференцируемые ф-ции отличаются постоянным слагаемым, то их дифференциалы равны между собой. d(u+c) = du+dc=du.

4) Постоянный многочлен выносится за знак дифференциала. D(Cv)=CdV.

5) D(uv) = vdu+udv.

D( ) = .

БИЛЕТ

БИЛЕТ

Теорема Ролля

Пусть функция f: [a, b] → R непрерывна на сегменте [a, b], и имеет конечную или бесконечную производную внутри этого сегмента. Пусть, кроме того, f(a) = f(b). Тогда внутри сегмента [a, b] найдется точка ξ такая, что f'(ξ) = 0.

Теорема Лагранжа

Если функция f: [a, b] → R непрерывна на сегменте [a, b] и имеет конечную или бесконечную производную во внутренних точках этого сегмента, то такое, что f(b) - f(a) = f'(ξ)(b - a).

Теорема Коши

Если каждая из функций f и g непрерывна на [a, b] и имеет конечную или бесконечную производную на ]a, b[ и если, кроме того, производная g'(x) ≠ 0 на ]a, b[, то такое, что справедлива формула

Если дополнительно потребовать, чтобы g(a) ≠ g(b), то условие g'(x) ≠ 0 можно заменить менее жестким:

БИЛЕТ

Правило Лопиталя-Бернулли.

Предел отношения двух бесконечно малых, или бесконечно больших ф-ций, равен пределу отношения их производных, при x—>a, конечному, или бесконечному, если он существует.

Правило Лапиталя при опред. условии может применяться несколько раз. Это правило также применяется при раскрытии опред. вида [0*∞].

БИЛЕТ

БИЛЕТ

БИЛЕТ

Монотонности функции. Изложите правило нахождения промежутков монотонности и точек зкстремума графика функции.
Если функция f(x), имеющая производную на отрезке (a;b), возрастает на этом отрезке, то её производная на отрезке (a;b) не отрицательная, т.е. f´ (x) ≥0.
Если функция f(x) непрерывна на отрезке (a;b) и дифференцируема в промежутке (a;b), причём f´ (x)>0 для a<x<b, то эта функция возрастает на отрезке (a;b).

Правило нахождения промежутков монотонности:

· Найти производную f’(x)

· Найти критические точки в которых f’(x)=0 или не существуют по первой производной.

· Нанести эти точки на числовую прямую

· Определить знак производной на каждом из промежутков

· Установить изменение знака производной, при переходе через критические точки

· Найти F(min) и F(max).

БИЛЕТ

БИЛЕТ

БИЛЕТ

БИЛЕТ

Изложите общую схему исследования функции и построения е графика.

БИЛЕТ

Функция нескольких переменных
1.функции нескольких переменных-если каждой паре 2-ух независимых переменных из обасти определения W ставится определ.знач.z,то говорят,что z есть ф-ия 2-ух переменных(x,y): z=f(x,y)
2.частной производной функции нескольких переменных по одной из них назыв.предел отнош.соотв.частного приращ.ф-ии к приращ.соотв.переменной,когда соотв.приращ. стремится к 0
3.дифференциал первого порядка ф-ии y=f(x)-назыв.главная линейная относительно аргумента часть.
4.вычисляются частные производные функции многих переменных:
dz=Dz/Dx*dx+Dz/Dy*dy

БИЛЕТ

21 БИЛЕТ
Дайте определение полного приращения функции нескольких переменных. Сформулируйте определение полного дифференциала функции 2-х и 3-х переменных и запишите соответствующие формулы.

Пусть дана Z=f(x,y) которая определена в области Д Придадим переменной х приращение ?ха переменную у оставим без изменения. Часным приращением фун Z=f(x,y) по переменной х называют величина ?хz которая определяется соотношением ?хz =f(x+?х,y)- f(x,y). Аналогично определяется часное приращение функции по переменной «у». ?уz =f(x, ?у+y)-f(x,y)

Полным приращением функции Z=f(x,y) наз величина ?Z которая определяется сотношением ?z =f(x+?х, ?у+y)-f(x,y)

БИЛЕТ

Дайте определение первообразной и неопределенного интеграла. Сформулируйте основные свойства неопределенного интеграла.
Первообразная —функция F(x) данной f(x) на интервале x=(a;b), если в каждой точке этого интервала f(x) является производной для F(x).

Множество первообразных ф-ции f(x) наз. неопределенный интеграл от этой функции и обозначается ∫f(x)dx=F(x)+C.

Свойства неопределенного интеграла:

1) d∫f(x)dx=f(x)dx;

2) ∫F’(x)dx=F(x)+C;

3) Неопределенный интеграл от алгебраич. суммы ф-ции равен сумме неопределенных интегралов этой функции;

4) ∫k*f(x)dx=k∫f(x)dx;

5) ∫f(x)dx=F(x)+C.

БИЛЕТ

С формулируйте сущность метода замены переменной внеопределенном интеграле. И зложите теорему о замене переменной в неопределенном интеграле и запишите соответствующую формулу. Разъясните последовательность подстановки

1.сущность метода замены переменной в неопределенном интеграле-Пусть требуется найти инт.f(x)dx, где функция f(x) непрерывна на некотором интервале x . Сделаем замену переменной в подынтегральном выражении, положив x=ф(t) , где ф(t) - функция непрерывно дифференцируемая на некотором интервале T .
Последовательность подстановки:

1) Определить, какую часть выражения следует заменить и обозначить ее новой переменной;

2) Найти дифференциалы левой и правой частей записи;

3) Выразить дифференциал старой переменной или выражение, содержащее этот дифференциал через дифференциал новой переменной;

4) Все подставить под интеграл;

5) По таблице найти неопределенный интеграл от функции;

6) Вернуться к исходной переменной

БИЛЕТ

БИЛЕТ

Дать определение правильной рациональной дроби и записать виды простых дробей.. Изложить правило интегрирования правильной рациональной дроби. Раскрыть сущность разложения рациональной функции на сумму простых дробей.

виды простейших дробей:
1)A/x-a
2)A/(x-a)ст.(k)
3)Ax+B/x2+q+px
4)Ax+B/(x2+q+px)ст.(k)
5)k>2; nЭN; x,A,B,a,b,q,pЭR; D<0
интегрирование
способ интегрирования правильной рациональной дроби-чтобы инт.правил.дробь её вначале след.представ.в виде суммы простейших дробей ,а затем проинтегр.каждое слаг.отдельно

27 БИЛЕТ
Запишите представление рациональной дроби в виде суммы простейших дробей. Изложите методы нахождения коэффициентов разложения рациональной дроби на простейшие (метод неопределенных коэффициентов).
Смотрим, правильная ли дробь (степень числителя должна быть меньше степени знаменателя). Если дробь неправильная, то делим столбиком числитель на знаменатель.
Раскладываем знаменатель на множители.
Правильную рациональную дробь представляем в виде суммы простейших дробей с неопределенными коэффициентами.
Приводим последнюю сумму к общему знаменателю и группируем в числителе слагаемые при одинаковых степенях х.
Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях х.
Решаем полученную систему уравнений, находим неопределенные коэффициенты

БИЛЕТ

Записать интегралы от простых дробей и разъяснить способ их вычисления.

1.интегралы от простейших дробей I и II типов.

1)инт.(A/x-a)dx=A(инт)d(x-a/x-a)=|x-a=t;dx=dt|=A(инт)dt/t=Aln|t|+C=Aln|x-a|+C

2)инт.(A/(x-a)ст.(n))=A(инт)(x-a)(ст.(-n))*d(x-a)=A(x-a)(ст.(-n+1))/-n+1 +C

2.интеграл от простейших дробей III типа:

1) Для начала представляем неопределенный интеграл в виде суммы простейших дробей

2) Первый интеграл берем методом подведения под знак дифференциала

3) У полученного интеграла преобразовываем знаменатель

x(кв.)+px+q=x(кв.)+2*(p/2)*x-p(кв.)/4-p(кв.)/4=B(инт.)dx/((x+p/2))(кв.)+(q-p(кв.)/4=|x+p/2=t;dx=dt|

БИЛЕТ

Запишите основные типы интегралов от тригонометрических функций. Записать и разъяснить основные формулы и подстановки, применяемые при
интегрировании тригонометрических функций. Объясните способы их вычисления.

БИЛЕТ

Записать формулы для интегрирования иррациональных выражений, содерхащих квадратный трехчлен. Вывести формулу выделения полного квадрата из квадратного трехчлена.

БИЛЕТ

БИЛЕТ

БИЛЕТ

БИЛЕТ

БИЛЕТ

БИЛЕТ

БИЛЕТ

БИЛЕТ

Дать определение обыкновенного дифференциального уравнения, его порядка, общего и частного решения. Сформулировать теорему о существовании и единственности решения дифференциального уравнения. Сформулировать задачу Коши для ДУ высших порядков.

Дифференциальные уравнения – уравнения, которые связывают между собой независимую переменную Х и искомую функцию Y и её производные различных порядков по переменной Х.

Порядок дифф.ур.-порядок старшей производной в данном ур. (y⁴-y³-e^x=0 – 4 порядок).

Общее решение дифф.ур. – y=µ (X,C₁,C₂,…,C_N), которое содержит столько произвольных постоянных каков порядок ур.

Всякое решение, которое получается из общего при конкретных значений произвольных постоянных – частное решение. Для нахождения частного решения требуется задать дополнительные условия – условия Коши.

Теорема о существовании и единственности решения ду: Пусть функция f(x, y, p₁, p₂, …,p_n-1) непрерывна и имеет непрерывные частные производные в некоторой области D и пусть точка (x₀, y₀, y₁, y₂, …, y_n-1) принадлежит области D. Тогда в некоторой окрестности точки x₀ существует решение уравнения , удовлетворяющее начальным условиям . Это решение единственно.

Коши для ДУ высших порядков: уравнение вида F(x, y, y', y'', ..., y⁽ⁿ⁾) = 0,
где F - известная функция (n+2) переменных, определенная в области D, x - независимая переменная из интервала (a, b), y = y(x) - неизвестная функция, n - порядок уравнения.

БИЛЕТ

Дать определения дифференциального уравнения первого порядка, его общего и частного решения. Сформулировать задачу Коши для ДУ-1. Записать дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Объясните способ его решения.

дифференциальнным уравнения 1-го порядка и формула..так называется уравнение которое связывают между собой независимую переменную Х , и искомую функцию У , и ее производные различных порядков по переменной Х.
F(x,y,y'...y(ст.n))=0 -неявная ф-ия
y(ст.n))=f(x,y,y'...y(ст.n-1))) - нормальная ф-ия
2.1.общего решения ДУ-1 – наз. такое уравнение : y=ф(x,c1,c2...c(ст.n)) которое содержит столько производных постоянных каков порядок самого уравнения.
2.2.Всякое реш.д.у. которое получ.из общего реш.при конкретных знач.произвольных постоянных назыв.частными.
2.3.Сформулируйте задачу Коши для ДУ-1:
y(x0)=y0
y'(x0)=y'0
y(ст.n-1)(x0)=y0(ст.n-1)
Задачу Коши для ДУ-1 – для нахождения частного решения необходимо задание дополнительных условий .

БИЛЕТ

БИЛЕТ

БИЛЕТ

Перечислите виды интегрируемых ДУ-2. Сформулировать задачу Коши для ДУ-2. Изложите способ решения простейших дифференциальных уравнений высших порядков, методом понижения порядка дифференциального уравнения.

Зада́ча Коши́ — одна из основных задач теории дифференциальных уравнений. Состоит в нахождении решения (интеграла) дифференциального уравнения, удовлетворяющего так называемым начальным условиям.
Задача Коши обычно возникает при анализе процессов, определяемых дифференциальным законом эволюции и начальным состоянием. Этим мотивируется терминология и выбор обозначений: начальные данные задаются при t = 0, а решение отыскивается при t > 0.
задача Коши имеет единственное решение, если она имеет решение y = f(x) и никакое другое решение не отвечает интегральной кривой, которая в сколь угодно малой выколотой окрестности точки (x0,y0) имеет поле направлений, совпадающее с полем направлений y = f(x). Точка (x0,y0) задаёт начальные условия.
задачей Коши для уравнения n–го порядка
y(n) = f (x, y, y ', ..., y(n - 1) )
называется задача отыскания решения y = y(x), удовлетворяющего начальным условиям

Понижение порядка дифференциального уравнения – основной метод решения уравнений высших порядков. Рассмотрим случаи, когда возможно понижение порядка.
Уравнения вида y(n) = f(x). Если f(x) – функция непрерывная на некотором промежутке a < x < b, то решение может быть найдено последовательным интегрированием.

БИЛЕТ

Дать определение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Изложить правило составления характеристического уравнения. Объяснить способ записи его решения в зависимости от корней характеристического уравнения.

Дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид F(x,y,y',y")=0.
Линейным однородным уравнением второго порядка называется уравнение y"+p(x)y'+q(x)y=0.
Если коэффициенты p(x) и q(x) постоянны, т.е. не зависят от x , то это уравнение называют уравнением с постоянными коэффициентами и записывают его так: y''+py'+qy=0.

Для получения из линейного однородного уравнения характеристического уравнения необходимо заменить функции y единицей, а y' и y" соответствующими степенями k

БИЛЕТ

БИЛЕТ

БИЛЕТ

БИЛЕТ

БИЛЕТ

Признак Д’Аламбера

Пусть начиная с некоторого номера n= все члена ряда положительны и существует предел отношения последующего члена ряда предела. n=

Радикальный признак Коши

Если начиная с некоторого номера все члены ряда не отрицательны и существует предел то если

БИЛЕТ

Дать определения абсолютной и условной сходимости знакопеременных рядов. Сформулировать достаточный признак абсолютной сходимости знакопеременного ряда. Изложить свойства абсолютно сходящихся рядов.

Знака переменные ряды – это ряды содержащие положительные и отрицательные члены и 0.
Условная сходимость – если сам ряд сходится, а его модуль расходится.
Абсолютная сходимость – если ряд сходится, и его модуль сходится.
Признак Лейбница:
Абсолютные величины с членами исходного ряда
│A1│≥│a2│≥│a3│≥…│an│≥… -образуют монотонную последовательность
(-1)n*1/n - ряд Лейбница.
Следствие из признака:
S≤a1;
│Rn│≤an+1 : Сво-во абсол.сходимости (условие абсолютной сходимости) :
Если ряд сходится, то он сходится

51 БИЛЕТ

Дать определения знакочередующегося ряда. Сформулировать условия сходимости по признаку Лейбница.
Знакопеременный ряд - ряд, который содержит как положительные так и отрецательные члены, включая нуль.
Условие сходимости:
1)lim an=0
2)абсолютные величины членов искомого ряда образуют монотонную не возрастающую последовательность(ряд Лейбница)

БИЛЕТ

БИЛЕТ

БИЛЕТ

БИЛЕТ

БИЛЕТ

БИЛЕТ

Формула трапеций

Формула Симпсона

БИЛЕТ

БИЛЕТ

производная функция
1.Производная функция в данной точке наз. Предел отношения приращения функции к соответствующему приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю. (Lim(дел.x->0)дельта y/дельта x) =Lim(дел.x->0)f(x0+дельтаx)-f(x0)/дельта x.
2.Основное свойство производной функции:функция имеющая производную в точке является непрерывной в этой точке. Обратное утверждение неверно.

БИЛЕТ

касательной и Геометрический смысл производной функции ,уравнение нормли
1. Геометрический смысл производной функции-На графике функции выбирается абсцисса x0 и вычисляется соответствующая ордината f(x0). В окрестности точки x0 выбирается произвольная точка x. Через соответствующие точки на графике функции F проводится секущая. Расстояние (дельта)x=x—x0 устремляется к нулю, в результате секущая переходит в касательную . Тангенс угла L наклона этой касательной — и есть производная в точке x0.
Если функция f:U(x0)->R имеет конечную производную в точке x0, то в окрестности U(x0) её можно приблизить линейной функцией.
2. Уравнения касательной и нормали к кривой в точке с абсциссой x0 .
уравнение касательной y=f(x0)+f'(x0)*(x-x0)
Уравнение нормали: y=y0-(1/f'(x0))*(x-x0)

БИЛЕТ

Сложная функция и правила .дифференцирования сложной функции
1.Сложная функция, функция от функции. Если величина y является функцией от u, то есть у = f (u), а и, в свою очередь, функцией от х, то есть u = j(х), то у является Сложная функция от х, то есть y = f [(x)], определённой для тех значений х, для которых значения j(х) входят в множество определения функции f (u).
2. формула и правило дифференцирования сложной функции.
Дифф.ф-ии нескольких перем.назыв.главная часть приращ.ф-ии пропорц.приращ.независимых переменных
dz=дz/дx *dx+дz/дx *dy

БИЛЕТ

функция задана параметрически ,от диффернциала .функции
1. Функция y=y(x)заданная параметрически - Зависимость величины y от величины x , заданная через зависимость каждой из них от параметра t в виде x=ф(t),y=q(t)
2.Сформулируйте теорему о дифференцировании функции, заданной параметрическими уравнениями: x=x(t); y=y(t) где t -переменная
2.1.Найдем производную у'(основ.-х), считая, что функции имеют производные и что функция х=x(t) имеет обратную t=ф(х). По правилу дифференцирования обратной функции:
t'(основ.x)=1/x'(основ.t)
2.2.Функцию у=f(х), определяемую параметрическими уравнениями, можно рассматривать как сложную функцию у=y(t), где t=ф(х). По правилу дифференцирования сложной функции имеем: у'(основ.-х)=y'(t)*t'(x). С учетом равенства получаем:
y'(z)=y'(t)*1/x'(t)

БИЛЕТ

Неявная функция и дифференцирование
1. неявная функция-если каждой паре (x;y) знач.2-ух независимых переменных из области W ставится определ.знач. z, то говорят,что z есть ф-ия 2-ух переменных (x;y)
2. правило дифференцирования неявной функции:
Для нахождения производной считаем, что в уравнении y зависит от x ,иначе F(x,y(x))=0. Другими словами дифференцируем уравнение F(x,y(x))=0,считая y сложной функцией, зависящей от x

БИЛЕТ

Дать определение дифференциала функции и раскрыть его геометрический смысл.

Дифференциалом функции у=f(х) в точке х называется главная часть ее приращения, равная произведению производной функции на приращение аргумента, и обозначается dу (или df(х)): dy=f'(х)*дел.х.
2.свойства дифференциала.
1) Дифференциал постоянной равен нулю:
dc = 0, с = const.
2) Дифференциал суммы дифференцируемых функций равен сумме дифференциалов слагаемых:
d(u+v)=du + dv.
Следствие. Если две дифференцируемые функции отличаются постоянным слагаемым, то их дифференциалы равны
d(u+c) = du (c= const).
3) Дифференциал произведения двух дифференцируемых функций равен произведению первой функции на дифференциал второй плюс произведение второй на дифференциал первой:
d(uv) = udv + vdu.
Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак дифференциала
d(cu) = cdu (с = const).

БИЛЕТ

Св-ва дифференциалов:

1) dc=0; c=const;

2) Диф. алгебраической суммы дифференцируемых ф-ций равен алгебраической сумме дифференциалов этих ф-ций. u=u(x); V=V(x); W=W(x); d(u+v-w) = du+dv-dw.

3) Если две дифференцируемые ф-ции отличаются постоянным слагаемым, то их дифференциалы равны между собой. d(u+c) = du+dc=du.

4) Постоянный многочлен выносится за знак дифференциала. D(Cv)=CdV.

5) D(uv) = vdu+udv.

D( ) = .

БИЛЕТ