Вероятность суммы совместных событий
Теорема 4.Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного наступления.
.
Примеры.
1. Вероятность поражения цели первым орудием равна 0,7, вторым – 0,8. Найти вероятность поражения цели при залпе из двух орудий.
Решение. Пусть событие А: {попадание из 1 орудия}, В: {попадание из 2 орудия}, С: {цель поражена}.
А и В – совместные события, так как они могут попасть два орудия сразу. По теореме 4, получим:
.
Ответ: 0,94
2.На 100 лотерейных билетов приходится 5 выигрышных. Какова вероятность выигрыша хотя бы по одному из двух приобретенных билетов?
Решение. Событие А: {выигрыш по первому билету}, В: {выигрыш по второму билету}, С: {выигрыш хотя бы по одному из двух билетов}. 
. События А и В – совместные и зависимые, поэтому:
Ответ: 0,098.
Вероятность появления хотя бы одного события
Теорема 5.Пусть события А1,А2,…,Аn попарно независимы и известно, что 
. Тогда вероятность хотя бы одного из этих событий находится по формуле:
.
Примеры.
1.Для разрушения моста достаточно попадания одной бомбы. Найти вероятность того, что мост будет разрушен, если на него будут сброшены 4 бомбы с вероятностями попадания соответственно равными 0,3; 0,4; 0,6; 0,7.
Решение. Пусть события А: {мост будет разрушен}, 
: {попадет i-ая бомба} (i = 1,2,3,4). Тогда, по условию, 
, 
, 
, 
. По теореме 5 получаем:
Ответ: 0,9496.
2.Малое предприятие в текущем месяце изготовило 8 изделий первого сорта, 2 – второго сорта, 4 – третьего сорта. На ярмарку случайным образом отбирают 4 изделия. Найти вероятность того, что хотя бы одно изделие первого сорта попадёт на ярмарку.
Решение.Событие А: {хотя бы одно изделие первого сорта попадёт на ярмарку} является противоположным событию 
: {ни одного изделия первого сорта не попадёт на ярмарку}. Событие произойдёт, если произойдёт одно из следующих событий:
– В: {на ярмарку попадёт 4 изделия третьего сорта};
– С: {3 изделия третьего сорта и 1 изделие второго сорта};
– D: {2 изделия третьего сорта и 2 изделия второго сорта}.
Эти события несовместны, значит, по формуле сложения, получим:
,
,
.
.
.
Ответ: 
.
Задачи для самостоятельного решения
1.Магазин получил продукцию в ящиках с четырех заводов: четыре ящика с первого, пять – со второго, семь – с третьего и четыре – с четвертого завода. Случайным образом выбран ящик для продажи. Какова вероятность того, что это будет ящик с первого или с третьего завода? ( 
).
2.Вероятность того, что стрелок при одном выстреле выбьет 10 очков, равна 0,1; вероятность выбить 9 очков – 0,3; вероятность выбить 8 или меньше очков – 0,6. Найти вероятность того, что при одном выстреле стрелок выбьет не меньше 9 очков. (0,4).
3.В партии из 10 деталей 8 – стандартных. Найти вероятность того, что среди наудачу извлеченных 2-х деталей есть хотя бы одна стандартная. ( 
).
4.В ящике 10 деталей, среди которых 2 – нестандартные. Найти вероятность того, что в наудачу отобранных 6-ти деталях окажется не более одной нестандартной детали. ( 
).
5.По статистическим данным ремонтной мастерской, в среднем на 20 остановок токарного станка приходится: 10 – для смены резца; 3 – из-за неисправности привода; 2 – из-за несвоевременной подачи заготовок. Остальные происходят по другим причинам. Найти вероятность остановки станка по другим причинам. (0,25).
6.Станок-автомат производит изделия трех сортов, при этом изделий первого и второго сорта 80 и 15 % соответственно. Чему равна вероятность того, что наудачу взятое изделие будет или высшего, или первого сорта? 
.
7.В группе 25 студентов. Из них отлично учатся 5 человек, хорошо – 12, удовлетворительно – 6 и слабо – 2. Преподаватель, не знакомый с группой, вызывает по списку одного из студентов. Определите вероятность того, что вызванный студент или отличник, или хорошист. 
.
8.Из ящика, содержащего 17 красных и 5 синих шаров, наудачу выбирают 4 шара. Найдите вероятность того, что среди выбранных шаров: а) не более одного синего; б) не менее трех красных; в) не менее половины красных. (а) 0,803; б) 0,79; в) 0,79).
9.Мастер обслуживает 5 станков. 20% времени он проводит у первого станка, 10 – у второго, 15 – у третьего, 25 – у четвертого, 30 % – у пятого. Найти вероятность того, что в наудачу выбранный момент времени он находится: 1) у первого или второго станка; 2) у второго или четвертого станка; 3) у первого, второго или четвертого; 4) у четвертого или пятого станка. (1) 0,3; 2) 0,35; 3) 0,55; 4) 0,55).
10.В магазин трикотажных изделий поступили носки, 60 % которых доставила первая фабрика, 25 % – вторая, а остальные – третья. Какова вероятность того, что купленные наугад носки изготовлены на первой или третьей фабрике? (0,75).
11.На тепловой станции работает 15 сменных инженеров, из которых 3 женщины. В смену занято 3 человека. Найти вероятность того, что в случайно выбранную смену работает не менее двух мужчин. (0,08).
12.В фирме 550 работников, 380 из них имеют высшее образование, а 412 - среднее специальное, 357 сотрудников имеют и высшее образование, и среднее специальное. Чему равна вероятность того, что случайно выбранный работник имеет или среднее, или среднее специальное или высшее образование, или то и другое? (0,791).
13.Какова вероятность того, что последняя цифра наугад набранного номера телефона окажется равной 5 или кратной 3? (0,4).
14.В урне 10 белых, 8 черных и 12 красных шаров. Наугад извлекают 2 шара. Какова вероятность того, что вынутые шары одного цвета, если известно, что не вынут красный шар? (0,1839).
15.В студенческой группе 28 человек. Среди них 20 студентов старше 19-ти лет и 8 студентов – старше 22-х лет. Разыгрывается билет на концерт. Чему равна вероятность того, что он достанется студенту старше 19-ти или старше 22-х лет? (0,7143).
16.Пусть вероятность того, что в магазине будет продана пара мужской обуви 44-го размера, равна 0,12; 45-го – 0,04; 46-го и более – 0,01. Найти вероятность того, что очередной будет продана пара мужской обуви не менее 44-го размера. (0,17).
17.Стрелок ведет огонь по цели, движущейся на него. Вероятность попадания при первом выстреле равна 0,4 и увеличивается на 0,1 при каждом последующем выстреле. Какова вероятность получить два попадания при трех независимых выстрелах? (0,38).
18.Среди 25-ти экзаменационных билетов – 5 «хороших». Два студента по очереди берут по одному билету. Найти вероятность того, что: а) первый студент взял «хороший» билет; б) второй студент взял «хороший» билет; в) оба студента взяли «хорошие» билеты. (а) 
б) в) 
).
19.Вероятность того, что в течение дня произойдет поломка автомобиля, равна 0,03. Какова вероятность того, что в течение четырех дней подряд не произойдет ни одной поломки? (0,885).
20.В классе 12 мальчиков и 18 девочек. Нужно выбрать делегацию из двух человек. Какова вероятность того, что выбраны: а) два мальчика; б) две девочки; в) девочка и мальчик? (а) 
б) 
в) 
).
21.Прибор состоит из двух элементов, работающих независимо. Вероятность выхода из строя первого элемента при включении прибора – 0,05; второго – 0,08. Найдите вероятность того, что при включении прибора: а) выйдет из строя только первый элемент; б) оба элемента выйдут из строя; в) откажет только второй элемент; г) оба элемента будут работать. (а) 0,046; б) 0,004; в) 0,076; г) 0,874).
22.В первой группе студентов два отличника, шесть – хорошистов, четыре – учатся удовлетворительно и три – плохо. Во второй соответственно – 5; 2; 5; 3. Из каждой группы наудачу выбирают по одному студенту. Найти вероятность того, что оба студента учатся плохо. (0,04).
23.Студент разыскивает нужную формулу в трех справочниках. Вероятности того, что формула содержится в первом, втором, третьем справочнике соответственно равны 0,6; 0,7; 0,8. Найти вероятности того, что формула содержится: а) только в одном справочнике; б) только в двух справочниках; в) во всех трех справочниках. (а) 0,188; б) 0,452; в) 0,336).
24.Брошено три игральные кости. Найти вероятность следующих событий: а) на каждой из выпавших граней появится число 5; б) на всех выпавших гранях появится одинаковое число очков. (а) 0,008; б) 0,048).
25.Всхожесть семян, предназначенных для посева, равна 98 %. Вероятность попадания семян в благоприятные для прорастания условия равна 0,96. Какой процент семян даст всходы? (94 %)
26.Из 12 билетов, пронумерованных числами от 1 до 12, наудачу один за другим выбирают два билета (без возвращения). Найти вероятность того, что: а) номер первого билета четный, а второго – нечетный; б) оба номера четные; в) оба номера нечетные; г) один из номеров четный, а другой – нечетный; д) хотя бы один номер четный; е) второй номер четный. (а) 0,27; б) 0,227; в) 0,227; г) 0,545; д) 0,772; е) 0,4997).
27.В урне 8 черных, 6 красных и 4 белых шара. Последовательно вынимаются три шара (без возвращения). Найти вероятность того, что первый шар окажется черным, второй – красным, третий – белым. (0,039).
28.На пяти одинаковых карточках написаны буквы: М, Л, Т, О, О. Какова вероятность того, что: а) извлекая все карточки по одной наудачу, получим в порядке их выхода слово «МОЛОТ»; б) извлекая три карточки по одной наугад, получим в порядке слово «ТОМ»? (а) 0,0166; б) 0,03).
29.Студент знает 20 из 25 вопросов. Найти вероятность того, что студент знает предложенные ему три вопроса. (0,4956).
30.Два станка работают независимо друг от друга. Вероятность бесперебойной работы первого станка в течение времени t равна 0,9; второго – 0,8. Определить вероятность бесперебойной работы хотя бы одного из двух станков в течение времени t. (0,98).
31.В автопробеге участвуют 3 автомобиля: первый может сойти с маршрута с вероятностью 0,15, второй с вероятностью 0,05, третий – 0,1. Определить вероятность того, что к финишу прибудут: а) только один автомобиль; б) два автомобиля; в) по крайней мере 2 автомобиля. ( а) 0,02525; б) 0,24725; в) 0,974).
32.В первой группе студентов 15 юношей и 10 девушек, во второй группе – 12 юношей и 13 девушек. Из каждой группы выбирают по одному студенту. Найти вероятность того, что среди выбранных студентов есть хотя бы одна девушка. (0,712).
33.В магазине имеются 10 женских и 6 мужских шуб. Для анализа качества случайным образом отобрали три шубы. Определить вероятность того, что среди отобранных шуб окажутся: а) только женские шубы; б) только мужские или только женские шубы. (а) 
б) 
).
34.Вероятность того, что выпускник экономического факультета защитит диплом на «отлично» равна 0,6. Вероятность того, что он защитит диплом на «отлично» и получит приглашение на работу, равна 0,4. Определите вероятность того, что он получит приглашение на работу. (0,6667).