Построение частных характеристик

Пример 1. Построить амплитудно-фазовую характеристику цепи, если ее

передаточная функция равна

Параметры звеньев:

Решение

Сделав подстановку s=jω, получим частотную передаточную функцию

(П.1)

Преобразуем выражение (П.1) таким образом, чтобы числитель и знаменатель представляли комплексное число в алгебраической форме. Для этого раскроем скобки и объединим члены с одинаковой степенью ω. При этом учитываем, что j =√-1, следовательно, j²=-1, j³=- j, j⁴=1, j⁵= j.

(П.2)

Представляем выражение (П.2) в виде суммы вещественной U(ω) и мнимой V(ω) частей:

(П.3)

где (П.4)

(П.5)

- вещественная часть числителя частотной передаточной функции (П2);

- мнимая часть числителя частотной передаточной функции ;

- вещественная часть знаменателя (П2);

-мнимая часть знаменателя (П2);.

Запишем выражения для вещественной и мнимой частей согласно (П.4) и (П.5):

(П.6)

. (П.7)

Подставляя значения параметров звеньев в (П.6) и (П7), получим:

(П.8)

(П.9)

Задаваясь значениями частоты ω от 0 до ∞, по формулам (П.8), (П9) вычисляем ряд пар значений и (таблица Б1) и строим по ним амплитудно-фазовую частотную характеристику (рисунок П1)

Таблица Б1 – Расчет амплитудно-фазовой частотной характеристики

ω		0,7
U(ω)		-1,3	-1,65	1,54	6,72	10,5	11,8	12,1	11,56	10,06	5,11	3,04	2,21	0,45
V(ω)		1,18	2,72	7,69	8,21	6,18	3,61	-0,66	-2,16	-4,14	-5,73	-5,06	-4,5	-1,58

Пример 2. Построить асимптотическую логарифмическую амплитудную частотную характеристику (ЛАЧХ) для системы, передаточная функция которой имеет вид

.

Решение. 1. В результате анализа передаточной функции получим, что в структурная схема системы состоит из последовательного соединения звеньев:

пропорционального W(s)=k, k=100;

интегратора ; инерционного (апериодического первого порядка) , постоянная времени Т=10 с;

форсирующего первого порядка , Т=1 с;

колебательного , Т=0,1 с, ξ=0,1/2Т=0,5

2. Частотная передаточная функция:

. (П10)

3. Используя правило вычисления модуля, получим амплитудную частотную функцию

. (П11)

4. Логарифмическая амплитудная частотная функция

.

(П12)

5. Вычислим сопрягающие частоты и пронумеруем их в порядке возрастания

с^-1; с^-1; с^-1. (П13)

Частота - сопрягающая частота инерционного звена; - сопрягающая частота форсирующего звена; - сопрягающая частота колебательного звена.

6. Запишем формулу для низкочастотной асимптоты, учитывая, что для частот под всеми корнями выражения (П12) оставляют единицу, а остальными членами пренебрегают

. (П14)

Это уравнение прямой с наклоном – 20дБ/дек, которая проходит через точку с координатами и . Это значит, что при увеличении частоты на декаду, т.е. в десять раз уменьшится на 20 дБ. Первая асимптота заканчивается на первой сопрягающей частоте.

6. Уравнение для второй асимптоты при получаем на основании того, что под корнем пренебрегаем единицей, под остальными корнями оставляем единицу и не учитываем в формуле . В результате получаем

. (П15)

Наклон этой асимптоты обуславливается инерционным звеном и изменяется на – 20дБ/дек по отношению к первой асимптоте, т.е. равен

– 40дБ/дек. Вторая асимптота заканчивается на второй сопрягающей частоте.

7. Уравнение для третьей асимптоты при . При этом добавляем слагаемое, обусловленное форсирующим звеном

. (П16)

Ее наклон изменяется на + 20дБ/дек по отношению ко второй асимптоте, поскольку соответствует форсирующему звену, т.е. будет равен – 20 дБ/дек. Третью асимптоту проводим из конца второй до третьей сопрягающей частоты.

8. Уравнение последней, четвертой, асимптоты получаем при , добавляя к уравнению (П16) слагаемое, обусловленное колебательным звеном

. (П17)

Наклон асимптоты обуславливается колебательным звеном и изменяется по отношению к третьей асимптоте на – 40дБ/дек, т.е. равен

– 60 дб/дек. Эта асимптота проводится из конца третьей асимптоты уходит в бесконечность.

Строить линию с типовым наклоном дБ/дек, где , удобно по двум точкам, например, начальной с координатами ( ) и дополнительной с координатами ( ). При другом способе в первой декаде строят линии с типовыми наклонами и используют их при построении асимптотической ЛАЧХ путем параллельного переноса.

9. Используя полученные формулы, строим ЛАЧХ (рисунок П2). Поскольку первая сопрягающая частота равна 0,1с^-1 , а последняя – 10 с^-1 , ЛАЧХ строим в диапазоне частот (0,01 – 100) с^-1.

- 60 дБ/дек

- 40 дБ/дек

- 20 дБ/дек

Рисунок П 2 - Асимптотическая ЛАЧХ

Приложение Г

(справочное)