Я не думаю, следовательно, я не существую
Однажды вечером Рене Декарт зашел в местную таверну, чтобы пропустить рюмку-другую. К нему сразу же подошел хозяин заведения:
— Добрый вечер, месье Декарт! — сказал он. — Принести вам выпивку как обычно?
— Не думаю, — рассеянно ответил Декарт и тут же растворился в воздухе. [13]
4. Забавные формулы, теоремы, задачи...
Иногда я убежден в том, что глупость имеет форму треугольника и что, если восемь умножить на восемь, получится безумие или собака.
Кортасар. «Игра в классики»
Беспредел
(Цит. по книге: Kutzler B. B. Mathematikerwitze & Mathematikwitze. 2006; перевод Ю. Фролова.)
И впрямь больше
3. Вот так решают уравнения блондинки!
Математика в Зазеркалье
Эта надпись, которую я сделал несколько лет назад, наверное, самое короткое доказательство того, что... 2 = 3. Приставьте к ней сверху зеркало (или посмотрите ее на просвет), и вы увидите, как «двое» превратятся в «трое».
Буквомешалка
Еще одна необычная формула:
eleven + two = twelve + one .
Оказывается, на английском равенство 11 + 2 = 12 + 1 верно, даже если его записать словами — «сумма» букв слева и справа одинакова! Это значит, что правая часть этого равенства — анаграмма от левой, то есть получается из нее перестановкой букв.
Подобные, хотя и менее интересные буквенные равенства можно получать и на русском языке:
пятнадцать + шесть = шестнадцать + пять .
6. Пи... или не Пи?..
С 1960 до 1970 года основной национальный напиток, называвшийся «Московская особая водка» стоил: пол-литра 2,87, а четвертинка 1,49. Эти цифры знало, наверное, почти всё взрослое население СССР. Советские математики заметили, что если цену поллитровки возвести в степень, равную цене четвертинки, то получится число «Пи»:
1,492,87≈π
(Сообщил Б. С. Горобец).
Уже после выхода первого издания книги доцент химфака МГУ Леензон И. А. прислал мне такой любопытный комментарий к этой формуле: «...много лет назад, когда не было калькуляторов, а мы на физфаке сдавали трудный зачет по логарифмической линейке (!) (сколько раз нужно двигать подвижную линейку вправо-влево?), я с помощью точнейших отцовых таблиц (он был геодезистом, экзамен по высшей геодезии ему снился всю жизнь) узнал, что рупь-сорок-девять в степени два-восемьдесят-семь равно 3,1408. Меня это не удовлетворило. Не мог наш советский Госплан действовать столь грубо. Консультации в Министерстве торговли на Кировской показали, что все расчеты цен в государственном масштабе делались с точностью до сотых долей копейки. Но назвать точные цифры мне отказались, ссылаясь на секретность (меня это тогда удивило — какая может быть секретность в десятых и сотых долях копейки). В начале 1990-х мне удалось получить в архивах точные цифры по стоимости водки, которые к тому времени были рассекречены специальным декретом. И вот что оказалось: четвертинка: 1 рубль 49,09 коп. В продаже — 1,49 руб. Поллитровка: 2 рубля 86,63 коп. В продаже — 2,87 руб. Воспользовавшись калькулятором я легко выяснил, что в таком случае четвертинка в степени пол-литра дает (после округления до 5 значащих цифр) как раз 3,1416! Остается только удивляться математическим способностям работников советского Госплана, которые (я в этом ни секунды не сомневаюсь) специально подогнали расчетную стоимость самого популярного напитка под заранее известный результат».
Ребус
Какой известный со школы математик зашифрован в этом ребусе?
Х...Й
Ответ: (Безу) [14]
Теория и практика
Математику, физику и инженеру предложили такую задачу: «Юноша и девушка стоят у противоположных стен зала. В какой-то момент они начинают идти навстречу другу и каждые десять секунд преодолевают половину расстояния между ними. Спрашивается, через какое время они достигнут друг друга?»
Математик, не раздумывая, ответил:
— Никогда.
Физик, немного подумав, сказал:
— Через бесконечное время.
Инженер после долгих расчетов выдал:
— Примерно через две минуты они будут достаточно близки для любых практических целей.
Формула красоты от Ландау
На следующую пикантную формулу, приписываемую Ландау, большому любителю слабого пола, обратил мое внимание известный Ландаувед профессор Горобец.
Как нам сообщил доцент МГУИЭ А. И. Зюльков, он слышал, что Ландау вывел следующую формулу показателя женской привлекательности:
где K — обхват по бюсту; M — по бедрам; N — по талии, T — рост, всё в см; P — вес в кг.
Так, если принять параметры для модели (1960-х гг.) приблизительно: 80-80-60-170-60 (в указанной выше последовательности величин), то по формуле получим 5. Если же принять параметры «антимодели», например: 120-120-120-170-60, то получим 2. Вот в этом интервале школьных оценок и работает, грубо говоря, «формула Ландау».
(Цит. по книге: Горобец Б . Круг Ландау. Жизнь гения. М.: Издательство ЛКИ/URSS, 2008.)
10. Знать бы то расстояние...
Еще одно наукообразное рассуждение по поводу женской привлекательности, приписываемое Дау.
Определим привлекательность женщины как функцию от расстояния до нее. При бесконечном значении аргумента эта функция обращается в нуль. С другой стороны, в точке нуль она также равна нулю (речь идет о внешней привлекательности, а не об осязательной). Согласно теореме Лагранжа, неотрицательная непрерывная функция, принимающая на концах отрезка нулевые значения, имеет на этом отрезке максимум. Следовательно:
1. Существует расстояние, с которого женщина наиболее привлекательна.
2. Для каждой женщины это расстояние свое.
3. От женщин надо держаться на расстоянии.
Лошадиное доказательство
Теорема:Все лошади одного цвета.
Доказательство.Докажем утверждение теоремы по индукции.
При n = 1, то есть для множества, состоящего из одной лошади, утверждение, очевидно, выполнено.
Пусть утверждение теоремы верно при n = k . Докажем, что оно верно и при n = k + 1. Для этого рассмотрим произвольное множество из k + 1 лошадей. Если убрать из него одну лошадь, то их останется k . По предположению индукции все они одного цвета. Теперь вернем на место убранную лошадь и заберем какую-либо другую. Опять-таки по предположению индукции и эти k оставшихся лошадей одного цвета. Но тогда и все k + 1 лошадей будут одного цвета.
Отсюда, согласно принципу математической индукции, все лошади одного цвета. Теорема доказана.
Немного о крокодилах
Еще одна замечательная иллюстрация применения математических методов к зоологии.
Теорема:Крокодил более длинный, чем широкий.
Доказательство.Возьмем произвольного крокодила и докажем две вспомогательные леммы.
Лемма 1:Крокодил более длинный, чем зеленый.
Доказательство.Посмотрим на крокодила сверху — он длинный и зеленый. Посмотрим на крокодила снизу — он длинный, но не такой зеленый (на самом деле он темно-серый).
Следовательно, лемма 1 доказана.
Лемма 2:Крокодил более зеленый, чем широкий.
Доказательство. Посмотрим на крокодила еще раз сверху. Он зеленый и широкий. Посмотрим на крокодила сбоку: он зеленый, но не широкий. Это доказывает лемму 2.
Утверждение теоремы, очевидно, следует из доказанных лемм.
Обратная теорема («Крокодил более широкий, чем длинный») доказывается аналогично.
На первый взгляд, из обеих теорем следует, что крокодил — квадратный. Однако, поскольку неравенства в их формулировках строгие, то настоящий математик сделает единственно правильный вывод: КРОКОДИЛОВ НЕ СУЩЕСТВУЕТ!
Опять индукция
Теорема:Все натуральные числа равны между собой.
Доказательство.Необходимо доказать, что для любых двух натуральных чисел A и B выполнено равенство A = B . Переформулируем это в таком виде: для любого N > 0 и любых A и B , удовлетворяющих равенству max(A , B ) = N , должно выполняться и равенство A = B .
Докажем это по индукции. Если N = 1, то A и B , будучи натуральными, оба равны 1. Поэтому A = B .
Предположим теперь, что утверждение доказано для некоторого значения k . Возьмем A и B такими, чтобы max(A , B ) = k + 1. Тогда max(A –1, B –1) = k . По предположению индукции отсюда следует, что (A –1) = (B –1). Значит, A = B .
14. Все обобщения неправильны!
Любители лингвистических и математических головоломок наверняка знают про рефлексивные, или самоописывающиеся (не подумайте ничего плохого), самоотносимые слова, фразы и числа. К последним, например, относится число 2100010006, в котором первая цифра равна количеству единиц в записи этого числа, вторая — количеству двоек, третья — количеству троек, ..., десятая — количеству нулей.
К самоописывающимся словам относится, скажем, слово двадцатиоднобуквенное , придуманное мной несколько лет назад. В нем действительно 21 буква!
Самоописывающихся фраз известно великое множество. Один из первых примеров на русском придумал много лет назад знаменитый карикатурист и словесный остроумец Вагрич Бахчанян: В этом предложении тридцать две буквы . Вот несколько других, придуманных гораздо позже: 1. Семнадцать буковок . 2. В этом предложении есть ошибка, расположенная в канце . 3. Это предложение состояло бы из семи слов, если было бы на семь слов короче . 4. Вы находитесь под моим контролем, поскольку вы будете читать меня, пока не дочитаете до конца . 5. ...Это предложение начинают и заканчивают три точки .
Есть и более сложные конструкции. Полюбуйтесь, например, на вот этого монстра (см. заметку С. Табачникова «У попа была собака» в журнале «Квант», № 6, 1989): В этой фразе два раза встречается слово «в», два раза встречается слово «этой», два раза встречается слово «фразе», четырнадцать раз встречается слово «встречается», четырнадцать раз встречается слово «слово», шесть раз встречается слово «раз», девять раз встречается слово «раза», семь раз встречается слово «два», три раза встречается слово «четырнадцать», три раза встречается слово «три», два раза встречается слово «девять», два раза встречается слово «семь», два раза встречается слово «шесть» .
Через год после публикации в «Кванте» И. Акулич придумал самоописывающуюся фразу, описывающую не только слова в нее входящие, но и знаки препинания: Фраза, которую Вы читаете, содержит: два слова «Фраза», два слова «которую», два слова «Вы», два слова «читаете», два слова «содержит», двадцать пять слов «слова», два слова «слов», два слова «двоеточие», два слова «запятых», два слова «по», два слова «левых», два слова «и», два слова «правых», два слова «кавычек», два слова «а», два слова «также», два слова «точку», два слова «одно», два слова «одну», двадцать два слова «два», три слова «три», два слова «четыре», три слова «пять», четыре слова «двадцать», два слова «тридцать», одно двоеточие, тридцать запятых, по двадцать пять левых и правых кавычек, а также одну точку .
Наконец, еще через несколько лет все в том же «Кванте», появилась заметка А. Ханяна, в которой приводилась фраза, скрупулезно описывающая все свои буковки: В этой фразе двенадцать В, две Э, семнадцать Т, три О, две Й, две Ф, семь Р, четырнадцать А, две 3, двенадцать Е, шестнадцать Д, семь Н, семь Ц, тринадцать Ь, восемь С, шесть М, пять И, две Ч, две Ы, три Я, три Ш, две П .
«Явно чувствуется, что не хватает еще одной фразы — которая рассказывала бы и о всех своих буквах, и о знаках препинания», написал в частном письме ко мне И. Акулич, породивший одного из приведенных ранее монстров. Возможно, эту весьма непростую задачу решит кто-либо из наших читателей.
15. «И гений — парадоксов друг...»
В продолжение предыдущей темы стоит упомянуть про рефлексивные парадоксы.
В уже упоминавшейся ранее книге Дж. Литлвуда «Математическая смесь» справедливо говорится, что «все рефлексивные парадоксы являются, конечно, превосходными шутками». Там же приводятся два из них, которые я позволю себе процитировать:
1. Должны существовать (положительные) целые числа, которые не могут быть заданы фразами, состоящими менее, чем из шестнадцати слов. Любое множество положительных целых чисел содержит наименьшее число, и поэтому существует число N , «наименьшее целое число, которое не может быть задано фразой, состоящей из менее, чем шестнадцати слов». Но эта фраза содержит 15 слов и определяет N .
2. В журнале Spectator был объявлен конкурс на тему «Что бы Вы с наибольшим удовольствием прочли, раскрыв утреннюю газету?» Первый приз получил ответ:
Наш второй конкурс
Первый приз во втором конкурсе этого года присужден мистеру Артуру Робинсону, остроумный ответ которого без натяжки должен быть признан наилучшим. Его ответ на вопрос: «Что бы Вы с наибольшим удовольствием прочли, раскрыв утреннюю газету?» был озаглавлен «Наш второй конкурс», но из-за лимитирования бумаги мы не можем напечатать его полностью.
Палиндроматика
Есть такие удивительные фразы, которые читаются одинаково и слева направо и справа налево. Одну наверняка знают все: А роза упала на лапу Азора . Именно ее просила написать в диктанте неуча Буратино капризная Мальвина. Называются такие взаимообратные фразы палиндромами, что в переводе с греческого означает «бегущий назад, возвращающийся». Вот еще несколько примеров: 1. Лилипут сома на мосту пилил . 2. Лезу на санузел . 3. Лег на храм, и дивен и невидим архангел . 4. Нажал кабан на баклажан . 5. Муза, ранясь шилом опыта, ты помолишься на разум . (Д. Авалиани). 6. Уж редко рукою окурок держу ... (Б. Гольдштейн) 7. Учуя молоко, я около мяучу . (Г. Лукомников). 8. Он верба, но она — бревно . (С. Ф.)
А интересно, есть ли палиндромы в математике? Для ответа на этот вопрос попробуем перенести идею взаимообратного, симметричного прочтения на числа и формулы. Оказывается, это не так уж и трудно. Познакомимся лишь с несколькими характерными примерами из этой палиндромной математики, палиндроматики . Оставляя в стороне палиндромные числа — например, 1991, 666и т.д. — обратимся сразу к симметричным формулам.
Попытаемся для начала решить такую задачу: найти все пары таких двузначных чисел
(x 1 — первая цифра, y 1 — вторая цифра) и
чтобы результат их сложения не менялся в результате прочтения суммы справа налево, т.е.
Например, 42 + 35 = 53 + 24.
Задача решается тривиально: сумма первых цифр у всех таких пар чисел равна сумме их вторых цифр . Теперь можно без труда строить подобные примеры: 76 + 34 = 43 + 67, 25 + 63 = 36 + 52 и так далее.
Можно развивать эти идеи дальше — например, так: 79 + 42 = 121 = 24 + 97 (Г. Лукомников) или даже так: XI + IV = VI + IX (В. Силиванов)
Рассуждая аналогичным образом, можно легко решить такую же задачу для остальных арифметических действий.
В случае разности, т.е.
получаются следующие примеры: 41 – 32 = 23 –14, 46 – 28 = 82 – 64, ... — суммы цифр у таких чисел равны (x 1 + y 1 = x 2 + y 2 ).
В случае умножения имеем: 63 ∙ 48 = 84 ∙ 36, 82 ∙ 14 = 41 ∙ 28, ... — при этом произведение первых цифр у чисел N 1 и N 2 равно произведению их вторых цифр (x 1 ∙ x 2 = y 1 ∙ y 2 ).
Наконец, для деления получаем такие примеры:
— в этом случае произведение первой цифры числа N 1 на вторую цифру числа N 2 равно произведению двух других их цифр, т.е. x 1 ∙ y 2 = x 2 ∙ y 1 .
Антисоветская теорема
Доказательство следующей «теоремы», появившейся в эпоху «недоразвитого социализма», опирается на популярные тезисы тех лет относительно роли Коммунистической партии.
Теорема.Роль партии — отрицательна.
Доказательство.Хорошо известно, что:
1. Роль партии непрерывно возрастает.
2. При коммунизме, в бесклассовом обществе, роль партии будет нулевой.
Таким образом, имеем непрерывно возрастающую функцию, стремящуюся к 0. Следовательно, она отрицательна. Теорема доказана.