Извлечение квадратного корня
Извлечение квадратного корня из комплексного числа можно осуществить, не обращаясь к тригонометрической форме. Выведем алгебраическую формулу для выполнения этого действия.
Пусть , и положим
,так как только этот случай представляет интерес. Тогда
, что равносильно системе уравнений
и
, причем нас интересуют только действительные решения этой системы. Мы уже знаем, что задача имеет решения. Это дает право предположить, что под буквами х и у подразумевается решение задачи. Тогда
,
.
Складываем эти равенства, получим: , откуда
,
причем здесь берется арифметическое значение корня, т.к. .
Сопоставляя последнее равенство с первым уравнением системы, получим:
,
.
Правые части обоих равенств неотрицательны, т.к. . Из последних равенств находим :
,
. Т.к.
, то
, где
- обозначает знак b, т.е. +1, если b > 0 и –1, если b < 0.
Пример:
1)
2) .
Корни из единицы
Как и для всякого отличного от нуля комплексного числа, для 1 существует ровно n значений корня n –ой степени. Т.к. , то для корней n – ой степени из 1 имеет место формула:
, при
.
Все корни из 1 имеют модуль, равный 1, так что их изображения находятся на окружности радиуса 1 с центром в точке 0. Один из корней при есть просто число 1 и изображается точкой пересечения положительной полуоси действительной оси с единичной окружностью. Корень
имеет аргумент
, т.е.
часть полной окружности.
У
![]() |
1
1 Х
Все корни n – ой степени из 1 являются корнями уравнения и располагаются на единичной окружности, деля ее на n равных частей. По этой причине уравнение
носит название уравнения деления круга.
Определение 1: называется первообразным корнемn– ой степени из 1, если
, но при любом другом натуральном m < n,
. Число
, есть, очевидно, первообразный корень n – ой степени из 1, но при n > 2 существуют и другие первообразные корни.
Теорема 1:Число есть первообразный корень n – ой степени из 1 в том и только том случая, если
и
взаимно просты.
Доказательство: Действительно всегда. Пусть
и
- взаимно просты и пусть
, где
. Тогда
, при
и
, т.е.
- делится на n. Но т.к.
, то
и потому не может быть меньше n. Поэтому
есть первообразный корень n – ой степени из 1.
Предположим теперь, что есть первообразный корень n – ой степени из 1, и пусть
,
,
. Тогда
и
. Отсюда следует, что
= 1, т.е.
и
взаимно просты, иначе
и
- не первообразный корень.
Из доказанной теоремы следует, что число первообразных n – ой степени из 1 равно числу меньших n и взаимно простых с n чисел, т.е. оно равно значению функции Эйлера от числа n.
Пример: при n = 12 имеется 4 первообразных корня .
Свойство корней из 1
Предложение 1:Произведение двух корней степени n из 1 есть корень степени n из 1.
Доказательство: Пусть и
корни степени из 1, т.е.
и
. Но тогда
т.е.
- корень n – ой степени из 1.
Предложение 2: Число, обратное корню степени n из 1, есть корень степени n из 1.
Доказательство: Если , то
.
Предложение 3:Пусть - любой первообразный корень степени n из 1. Тогда всякий корень степени n из 1 получается из
возведением в некоторую степень с натуральным показателем.
Доказательство: Пусть -какой-либо первообразный корень степени n из 1. Тогда при любом целом
число
будет корнем степени n из 1, ибо
. Рассмотрим числа
. Все они суть корни степени n из 1. Среди них нет равных, ибо если
, при
, то
, что невозможно, ибо
, но меньше n, а
- первообразный корень степени n. Итак, числа
(*)
попарно различные корни n-ой степени из 1 и их число равно n, т.е. равно числу всех корней n-ой степени из 1. Поэтому (*) – все корни степени n из 1, что и требовалось доказать.
Предложение 4:Все значения
получаются из одного значения посредством умножения на все корни степени n из 1.
Доказательство: Пусть и
. Тогда
, так, что
есть корень n–ой степени из 1 и
. Обратно, если
и
- корень степени n из 1, то
.
Теорема 1. ( Здесь доказано ) Все корни n-ой степени из 1 образуют мультипликативную группу из n элементов.
Теорема 2.Все корни из 1 образуют мультипликативную группу.
( Доказать самостоятельно ).
Первую группу обычно обозначают ,а вторую
Доказательство: Пусть и
. Тогда
, так, что
есть корень n–ой степени из 1 и
. Обратно, если
и
- корень степени n из 1, то
.
Теорема 1. ( Здесь доказано ) Все корни n-ой степени из 1 образуют мультипликативную группу из n элементов.
Теорема 2.Все корни из 1 образуют мультипликативную группу.
( Доказать самостоятельно ).
Первую группу обычно обозначают ,а вторую
Глава V. Арифметическое векторное пространство и системы линейных уравнений