Тригонометрическая запись комплексного числа
Модуль и
комплексного числа
связаны с его компонентами при помощи формул
,
. Эти формулы следуют непосредственно из определения функций
и
любого угла. Ясно, что
,
,
. Эти формулы определяют модуль и аргумент по данным
и b. Для определения аргумента можно пользоваться формулой
при
. Однако эта формула задает
лишь с точностью до целого кратного
(т.е. полуоборота), а не до целого кратного
.
Подставляя вместо компонент комплексного числа их выражения через модуль и аргумент получаем
.
Такая форма записи комплексного числа называется тригонометрической.
Примеры:
, где
.
Умножение комплексных чисел в тригонометрической форме
Пусть и
, тогда легко проверить, что
.
Следовательно, модуль произведения двух комплексных чисел равен произведению модулей сомножителей, а аргумент произведения равен сумме аргументов сомножителей. В буквенной записи ,
.
Это правило распространяется на произведение любого числа сомножителей. Именно, ,
. Если мы будем перемножать несколько раз одно и тоже число, то получим
. При r = 1 получается знаменитая формула Муавра: .
. Формула верна не только для натуральных значений k, но и для всех целых значений.
Деление комплексного числа в тригонометрической форме
Пусть , тогда
.
Если , то
.
Следовательно, модуль частного двух комплексных чисел равен частному их модулей, а аргумент частного равен разности аргументов. В буквенной записи: ,
.
Извлечение корня из комплексного числа
Пусть n – натуральное число. Извлечь корень с показателем n из комплексного числа - это значит найти комплексное число (или числа)
так, что
. Каждое число
такое, что
- называется корнем n – й степени из
и обозначается
. Ясно, что если
, то единственным значением
является число 0, поэтому сосредоточим внимание на случае
.
Запишем в тригонометрической форме:
и будем искать
тоже в тригонометрической записи:
. Равенство
запишется в виде
.
Приравнивая модули и аргументы (с учетом многозначности), получим, что последнее равенство равносильно равенствам:
и
Данное r – положительно ( ) и искомое R тоже должно быть положительно. Известно, что для любого положительного числа существует единственное значение корня n –ой степени, называемое арифметическим значением корня, т.е.
. Аргумент же Q находится просто делением
.
Таким образом, корни n- ой степени из комплексного числа существуют, и все они получаются по формуле:
(1) .
В формуле (1) - любое целое число, но однако достаточно ограничиться значениями
. Действительно, пусть
,
. Разделим
на
с остатком:
, где
- целое число, а остаток
может принимать только такие значения: 0, 1, …,
.
Так как
,
,
то , где
. Итак, мы доказали теорему:
Теорема 1:Существует ровно n корней - ой степени из комплексного числа
. Они вычисляются по формуле (1) при
.
Пример: Вычислить .
,
,
следовательно, .
;
.