Метод оценки левой и правой частей уравнения
Пример 169.Решите уравнение 
.
Решение
Область допустимых значений: 
.
Левая часть уравнения: 
. Правая часть 
.
Равенство возможно только в одном случае, когда и левая и правая части уравнения, при одних и тех же значениях x равны нулю. Получим систему уравнений:
Последняя группа корней 
не входят в область допустимых значений.
Ответ: 
.
Пример 170. Решите уравнение 
.
Решение
Область допустимых значений: 
.
Преобразуем уравнение: 
. Левая часть уравнения может быть равна единицы только в следующих случаях:
(1) 
(2) 
(3) 
(4) 
(5) 
(1) 
- входят в ОДЗ.
(2) 
(3) 
Должно выполняться равенство при целых значениях k и n:
.
Получим: 
(4) 
- решений нет.
Результаты решений систем (2) и (3) 
и 
объединяются общими решениями: .
Ответ: 
.
Пример 171. 
.
Решение
Областью допустимых значений переменных x и y является множество всех действительных чисел, т. е. 
.
Областью значений функций 
и 
является множество действительных чисел из промежутка 
или 
и 
.
Сумма этих функций будет равна 2 тогда и только тогда, когда, при одних и тех же значениях x и y каждая из функций равна 1, т. е. выполняется система уравнений:
Ответ: 
.
Пример 172. 
.
Решение
Область значений функций: 
, 
.
Сумма этих функций равна -2 тогда и только тогда, когда выполняется система равенств:
.
Ответ: 
.
Пример 173. 
.
Решение
Преобразуем уравнение 
.
Область значений функций: 
; 
.
Разность этих функций равна -2 тогда и только тогда, когда выполняется система уравнений:
.
При этих значениях x равенство sin6x = 1 выполняется. В самом деле:
.
Ответ: 
.
Пример 174. 
.
Решение
Область значений функций: 
; 
.
Сумма этих функций равна 2 тогда и только тогда, когда выполняется система уравнений:
.
Общие решения системы следующие: 
Ответ: 
.
Пример 175. 
.
Решение
Область значений функций: 
; 
,
.
Сумма этих функций равна 0 тогда и только тогда, когда выполняется система уравнений:
.
Общие решения системы следующие: 
Ответ: 
.
Пример 176. Решите уравнение 
.
Решение
Область значений функций: 
, поэтому, произведение этих функций равно (-1) только в двух случаях, откуда получим совокупность двух систем уравнений
(1) 
и (2) 
Решим систему (1):
(1) 
.
.
Это неопределенное уравнение относительно k и n. НОД(3, 10) = 1, значит, по теореме это уравнение имеет, по крайней мере, одно решение. Это решение найдем линейным разложением 1 на 3 и -10. Для этого разделим с остатком 10 на 3. Получим 3 в частном и 1 в остатке, значит 
, откуда k = -3, n = -1.
Общие решения будут 
.
Для нахождения значений x достаточно взять одно из значений k или n.
При 
получим 
.
Решим вторую систему уравнений:
.
НОД(6, 2) = 2, 5 не делится на 2, значит уравнение не имеет целых решений.
Проверим значения 
.
Замечание. Поскольку t принимает целые значения, то знак "-" или "+" перед 
значения, в данном случае, не имеет.
Проверка
,
, значит
являются решениями уравнения.
Ответ: 
.
Задание 8
Решите уравнения:
177. 
. 178. 
.
179. 
. 180. .
181. 
. 182. 
.