Аналитическая геометрия в пространстве

Аналитическая геометрия в пространстве

Системы координат в пространстве

■ Декартова прямоугольная система координат. Эта система координат определяется заданием трех взаимно перпендикулярных осей (пересекающихся в одной точке О – начале координат) и единицы масштаба. Оси обычно обозначают Ox, Oy, Oz. Имеет место взаимно однозначное соответствие между точками пространства и тройками чисел x, y, z – координатами точек.

Замечание.Различают правые и левые системы декартовых координат.

■ Расстояние d между двумя точками пространства и (т.е. длина отрезка АВ) вычисляется по формуле

.

В частности, расстояние от точки до начала координат равно .

Пример 1. Расстояние между точками A(-3, 1, 5) и B(-2, 0, 4) равно , а длина отрезка ОА равна .

■ Деление отрезка в данном отношении. Пусть даны точки и . Координаты точки D(x, y, z), делящей отрезок АВ в отношении AD : DB = λ, определяются по формулам

, , .

Координаты середины отрезка (т.е. точки С(x, y, z), делящей отрезок АВ в отношении AС : СB = λ = 1) находятся по формулам

, , .

Пример 2. Найти точку D(x, y, z), делящую отрезок АВ в отношении AD : DB = 1,5, если даны координаты точек A(-2, 1, 4) и B(3, 6, -1).

Решение. Находим , , .

Ответ: D(1, 4, 1).

Векторная алгебра

Векторы

■ Понятие вектора. Различают скалярные величины (такие, как масса, температура, плотность) и векторные величины (сила, скорость, ускорение и т.п.). Скалярные величины охарактеризованы одним числом, выражающим отношение этой величины к единице измерения. Для векторной величины одного числа недостаточно: они обладают еще и направленностью. Для выражения таких величин служат геометрические векторы.

Геометрическим вектором называется направленный отрезок. Векторы обозначаются либо (точка А – начало вектора, точка В – конец вектора), либо . Длина отрезка АВ называется модулем вектора и обозначается (или ).

Нулевым вектором называется вектор, у которого начало и конец совпадают. Коллинеарными векторами называются векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых. Векторы называются равными, если они коллинеарны, имеют одинаковые модули и одинаковые направления.

В геометрии не различают равных векторов, получающихся друг из друга параллельным переносом. В этом смысле векторы называют свободными.

■ Произведение вектора на число. Произведением вектора на действительное число называется вектор , удовлетворяющий трем условиям: 1) модуль вектора равен ; 2) вектор коллинеарен вектору ; 3) и направлены одинаково, если и противоположно, если (если , то , т.е. представляет собой нулевой вектор).

Вектор или называется противоположным вектором по отношению к вектору .

■ Сумма векторов. Суммой векторов и называется вектор , получаемый либо по правилу параллелограмма (рис. 24, а), либо по правилу треугольника (рис. 24, б). При этом подразумевается, что векторы и предварительно параллельным переносом должны занять положение, показанное на рисунках.

Рис. 24.

Сумму произвольного числа векторов можно построить по следующему правилу: приложим вектор к концу вектора , вектор – к концу вектора и т.д.; тогда сумма n векторов будет представлять собой вектор, идущий из начала вектора в конец вектора ("правило многоугольника" или "правило замыкающей").

Операция сложения векторов обладает свойствами коммутативности и ассоциативности . Кроме того, для любого вектора , , также и .

■ Разность векторов. Разностью векторов и называется такой вектор , для которого (см. рис. 25, где векторы и приведены к общему началу).

Можно рассматривать разность векторов и как сумму вектора и вектора , противоположного вектору : .

■ Проекция вектора на ось. Углом между осью l (направленной прямой) и вектором называется угол кратчайшего поворота оси до совмещения ее направления с направлением вектора (аналогично определяется угол между двумя векторами).

Проекция вектора на ось находится по формуле

(в случае тупого угла между вектором и осью проекция оказывается отрицательной).

■ Разложение вектора по базису. Координаты вектора. Обозначим через , , единичные векторы (или орты) осей декартовой прямоугольной системы координат Oxyz. Любой вектор пространства единственным образом представляется в виде такой линейной комбинации векторов , , :

. (*)

Наряду с (*) используется и такая запись:

.

Тройку векторов , , называют координатным базисом пространства, а представление (*) – разложением вектора по базису.

Числа X, Y, Z – коэффициенты этого разложения – называются координатами вектора ; они определяются вектором однозначно, а именно, они представляют собой проекции вектора на оси координат.

Замечание.Разложение векторов можно производить не только по ортогональномубазису , , , но и по любым трем некомпланарным(т.е. не лежащим в одной плоскости) векторам (если вектор лежит на плоскости, то в качестве базиса можно взять любую пару неколлинеарных векторов).

■ Определение координат вектора по координатам его начала и конца.Если даны начало вектора и его конец , то имеем

или

.

В частном случае, когда начало вектора находится в начале координат, имеем , т.е. в этом случае координаты вектора совпадают с координатами конца вектора (отметим, что вектор называют радиусом-вектором точки В).

Модуль вектора (как и длина отрезка АВ) находится по формуле

.

В частности, модуль вектора с началом в точке О равен .

Пример 1. Пусть начало вектора расположено в точке A(-3, 1, 5), а конец – в точке B(-2, 0, 4). Тогда вектор или же , а модуль этого вектора ; радиус-вектор точки В равен , а .

■ Координаты суммы векторов равны суммам одноименных координат слагаемых: если , , то .

Аналогично ; кроме того, координаты вектора равны произведениям координат вектора на число :

.

Пример 2. Найти координаты вектора , если , .

Решение. Находим , , поэтому

.

Скалярное произведение

■ Определение. Скалярным произведением векторов и называется число (которое мы будем обозначать ), равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними:

. (1)

Можно использовать проекции векторов: скалярное произведение векторов равно произведению на проекцию вектора на ось вектора или произведению на проекцию вектора на ось вектора :

.

Если и – ненулевые векторы, то при остром угле между ними скалярное произведение положительно, а при тупом угле – отрицательно.

Скалярное произведение векторов называется произведением потому, что оно обладает алгебраическими свойствами произведения чисел:

; ;

.

Эти свойства дают возможность перемножать векторные многочлены по обычным правилам алгебры. Отличие же от произведения чисел состоит, в частности, в том, что бессмысленно говорить о скалярном произведении трех (и более) векторов.

■ Физический смысл скалярного произведения. Допустим, что вектор изображает силу, точка приложения которой перемещается из начала в конец вектора . Тогда работа этой силы равна (где – угол между направлениями силы и перемещения), т.е. работа равна скалярному произведению векторов и .

■ Скалярный квадрат вектора. Рассмотрим скалярное произведение . Оно называется скалярным квадратом вектора и обозначается . Имеем

. (2)

Таким образом, скалярный квадрат вектора – неотрицательное число (равное квадрату модуля вектора). В частности, для ортов осей декартовой системы координат имеем (а ).

■ Выражение скалярного произведения через координаты сомножителей. Если в декартовой прямоугольной системе координат заданы векторы и , то

. (3)

■ Угол между двумя векторами и можно найти из соотношения

. (4)

■ Необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух векторов

(5)

или, в координатах,

. (6)

Необходимое и достаточное условие коллинеарности векторов и состоит в пропорциональности их координат (т.к. ):

(если какая-нибудь из координат вектора равна нулю, то и соответствующая координата вектора равна нулю).

Например, векторы и коллинеарны, так как выполняется условие .

■ Нахождение проекции одного вектора на направление другого. Проекция вектора на направление вектора находится по формуле , а проекция на направление – по формуле .

■ Направляющие косинусы вектора. Обозначим через углы, образованные вектором с осями координат Ox, Oy, Oz соответственно. Тогда числа , , называются направляющими косинусами вектора . Очевидно,

, , ;

отсюда ясно, что координатами произвольного единичного вектора служат его направляющие косинусы:

.

Направляющие косинусы связаны соотношением

.

■ Проекция вектора на ось. Пусть заданы ось l, имеющая орт (единичный направляющий вектор) , и некоторый вектор . Если , , – направляющие косинусы орта , то проекцию вектора на ось l можно найти по формуле

(см. также стр. ___).

Пример 1. Найти скалярное произведение векторов и , если длины этих векторов соответственно равны 5 и 4, а угол между ними равен 60º.

Решение. По определению скалярного произведения (формула (1)) .

Ответ: .

Пример 2. Доказать, что векторы и перпендикулярны.

Решение. Находим скалярное произведение по формуле (3): . Равенство скалярного произведения нулю означает, что векторы перпендикулярны.

Пример 3. Найти угол между векторами и .

Решение. Воспользуемся формулой (4):

;

отсюда .

Пример 4. В треугольнике ABC с вершинами А(1,0,-1), В(2,-1,-5), С(3,-2,4) найти проекцию стороны АВ на сторону АС.

Решение. Находим векторы:

, . Искомая проекция равна (отрицательный знак проекции свидетельствует о том, что – тупой).

Пример 5. Найти длины диагоналей параллелограмма, построенного на векторах и , если угол между векторами равен 60º и , .

Решение. Одна из диагоналей параллелограмма изображается вектором , а другая – вектором .

Найдем скалярный квадрат . (здесь мы воспользовались формулой (2)); аналогично . Из формулы (2) следует, что ; аналогично .

Ответ: длины диагоналей равны и .

Плоскость в пространстве

■ Векторное уравнение плоскости.Пусть плоскость проходит через точку и перпендикулярна вектору . Для произвольной точки плоскости ("текущей точки") векторы и должны быть перпендикулярны. Отсюда получаем векторное уравнение плоскости

.

Здесь – ненулевой вектор, который называют нормальным вектором плоскости (рис. 28).

В координатной форме уравнение плоскости принимает вид

. (1)

Пример 1.Составить уравнение плоскости, проходящей через точку (-1, 0, 2) и перпендикулярной вектору .

Решение. Искомое уравнение имеет вид .

Рис. 28.

■ Общее уравнение плоскости. Уравнению (1) можно придать вид

. (2)

Это уравнение первой степени с тремя переменными, в котором хотя бы один из коэффициентов А,В,С отличен от нуля. Оно называется общим уравнением плоскости.

Любая плоскость определяется уравнением вида (2). Рассмотрим частные случаи общего уравнения плоскости.

1) При уравнение принимает вид ; такая плоскость проходит через начало координат.

2) При , , уравнение плоскости – плоскость параллельна оси Ох (и проходит через нее, если ).

3) При , , уравнение плоскости – плоскость параллельна оси Оy (и проходит через нее, если ).

4) При , , уравнение плоскости – плоскость параллельна оси Оz (и проходит через нее, если ).

5) При , , уравнение плоскости – плоскость параллельна плоскости хOy (в частности, – уравнение плоскости хOy).

6) При , , уравнение плоскости – плоскость параллельна плоскости xОz (в частности, – уравнение плоскости хOz).

7) При , , уравнение плоскости – плоскость параллельна плоскости yОz (в частности, – уравнение плоскости yOz).

Для построения плоскости на чертеже достаточно получить какие-нибудь три точки данной плоскости. Чаще всего находят точки пересечения плоскости с осями координат (если плоскость не параллельна ни одной из осей).

Пример 2.Построить плоскость, заданную уравнением .

Решение.а) положим , , тогда ; получаем точку пересечения плоскости с осью Ох: Р(2, 0, 0); б) положим , , тогда ; получаем точку пересечения плоскости с осью Оу: Q(0, 3, 0); в) положим , , тогда ; получаем точку пересечения плоскости с осью Оz: R(0, 0, 6). Для наглядного изображения плоскости остается соединить отрезками прямых три полученные точки Р,Q, R (рис. 29, а).

Пример 3.Построить плоскость, заданную уравнением .

Решение.а) положим , , тогда ; получим точку пересечения плоскости с осью Ох: Р(2, 0, 0); б) положим , , тогда ; получим точку пересечения плоскости с осью Оz: R(0, 0, 3). Соединим отрезком прямой точки P и R, после чего нетрудно представить себе, как выглядит данная плоскость (рис. 29, б).

Рис. 29.

■ Уравнение плоскости в отрезках на осях.Если (а, 0, 0), (0, b, 0), (0, 0, с) – точки пересечения плоскости с осями Ох, Оу, Oz соответственно (здесь а,b,с не равны нулю), то уравнению такой плоскости можно придать форму

. (3)

Это "уравнение плоскости в отрезках".Эта форма уравнения плоскости особенно удобна для построения плоскости на чертеже. Если в уравнении (2) коэффициенты и свободный член не равны нулю, можно записать его в виде , т.е. придать ему форму (3).

■ Нормальное уравнение плоскости.Аналогично тому, как это делалось для уравнения прямой на плоскости (см. п.1.6.), общее уравнение плоскости можно привести к нормальному виду, деля его на число , где знак перед корнем берется противоположным знаку свободного члена D.

Для нахождения расстояния от данной точки до данной плоскости надо привести уравнение плоскости к нормальному виду, а затем подставить в левую часть нормального уравнения плоскости координаты данной точки М. Тогда искомое расстояние равно абсолютной величине полученного при этом числа h, т.е. равно

.

Замечание. Если , т.е. если плоскость не проходит через начало координат, то при h<0 точка М и начало координат лежат по одну сторону от данной плоскости, а при h>0 – по разные стороны (при h=0, очевидно, точка М лежит на плоскости).

Пример 4. Найти расстояние от точки М(1, 2, 3) до плоскости .

Решение. 1) Приводим уравнение плоскости к нормальному виду, деля его на (знак плюс взят потому, что ): ;

2) Подставляя в левую часть этого уравнения , , , получим число . Таким образом, искомое расстояние равно . Тот факт, что , свидетельствует о том, что точки М и О лежат по разные стороны от заданной плоскости.

Пример 5. Найти расстояние между двумя параллельными плоскостями и .

Решение. Возьмем произвольную точку на первой плоскости, например, точку М(0, -1, 0). Искомое расстояние равно, очевидно, расстоянию от точки М до второй плоскости, т.е. .

Ответ: .

■ Угол между двумя плоскостями. Пусть две плоскости заданы общими уравнениями

,

. (4)

Угол между их нормальными векторами и равен (двугранному) углу между данными плоскостями. Поэтому угол между плоскостями можно найти из формулы

(см. формулу (4) из п. 2.3.). Это угол лежит в пределах от 0 до ; другой двугранный угол, образованный двумя пересекающимися плоскостями, равен .

■ Условие перпендикулярности двух плоскостей.Две данные плоскости (4) перпендикулярны тогда и только тогда, когда , т.е. при выполнении условия

или

(см. формулу (5) из п. 2.3.).

Например, плоскости и перпендикулярны, так как .

Две данные плоскости параллельны тогда и только тогда, когда их нормальные векторы и коллинеарны, т.е. при выполнении условия

.

Здесь, как и в п.2.3, при равенстве нулю какого-нибудь из знаменателей следует считать равным нулю и соответствующий числитель.

Например, плоскости и параллельны, так как . Заметим дополнительно, что если выполняются равенства , то это говорит о том, что плоскости совпадают, т.е. уравнения (4) определяют одну и ту же плоскость.

Пример 6. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку М₀(1, -1, 0) и параллельна плоскости .

Решение. Так как у нужной нам плоскости, очевидно, тот же самый нормальный вектор {2, 3, -4}, что и у заданной плоскости, то искомое уравнение должно иметь вид или – ответ.

Пример 7. Найти угол между плоскостями, заданными уравнениями и .

Решение. Находим косинус угла между нормальными векторами и : ;

отсюда . Это один из двугранных углов, образованных плоскостями; другой угол равен .

■ Уравнение пучка плоскостей. Все плоскости, проходящие через линию пересечения двух (не параллельных) данных плоскостей (4) ("пучок плоскостей"), представляются уравнением вида

,

где p и q – произвольные числа, не равные нулю одновременно. Придавая p и q конкретные значения, получаем уравнение той или иной плоскости, проходящей через прямую, по которой пересекаются две данные плоскости. Например, при получим уравнение первой плоскости, а при – уравнение второй плоскости.

Пример 8. Составить уравнение плоскости, проходящей через линию пересечения двух плоскостей и и через начало координат.

Решение. Искомое уравнение содержится в уравнении пучка плоскостей

,

где p и q – некоторые числа, причем (в противном случае это уравнение дало бы плоскость , которая не проходит через начало координат). Поэтому искомое уравнение можно записать в виде

.

Требование, чтобы плоскость проходила через начало координат, приводит к равенству