Исследование взаимного расположения двух плоскостей

Дано: R = , П₁ : А₁х + В₁у + С₁z + D₁ = 0, П₂ : А₂х + В₂у + С₂z + D₂ = 0.

Исследовать взаимное расположение П₁, П₂ .

Решение. Задача сводится к исследованию системы (46)

Возможны случаи.

1. А₁, В₁, С₁ и А₂, В₂, С₂ не пропорциональны. В этом случае система (46) имеет бесконечно много решений, но уравнения не пропорциональны. На геометрическом языке получаем, что плоскости имеют бесконечно много общих точек, но не совпадают. Следовательно, П₁ и П₂ пересекаются по прямой.

Замечание. Если прямая задана общими уравнениями (19), то каждое отдельно взятое уравнение задаёт прямую, т.е. прямая задаётся как линия пересечения двух плоскостей.

2. . В этом случае уравнения системы (46) эквивалентны, т.е. каждое решение одного из них является решением второго. На геометрическом языке: каждая точка одной плоскости лежит на другой, т.е. плоскости совпадают.

3. . В этом случае системы (46) не имеет решений. На геометрическом языке: плоскости не имеют общих точек.

Следствие. Плоскости П₁ : А₁х + В₁у + С₁z + D₁ = 0, П₂ : А₂х + В₂у + С₂z + D₂ = 0 параллельны тогда и только тогда, когда .

Задача 16. Исследовать взаимное расположение плоскостей, если одна из них задании общим уравнением, а вторая – параметрическими уравнениями.

Дано: R = , П₁ : Ах + Ву + Сz + D = 0, П₂ : Исследовать взаимное расположение П₁, П₂ .

Решение. Задача сводится к исследованию системы (*)

Подставив выражения х, у, z в первое уравнение и преобразовав его, получим

(**)

Возможны случаи:

1) ¹ 0 ( или ¹ 0). В этом случае уравнение (**) имеет бесконечно много решений, зависящих от одного параметра. Следовательно, система (*) тоже имеет бесконечно много решений, зависящих от одного параметра. На геометрическом языке это значит, что плоскости пересекаются по прямой.

2) = 0, = 0, = 0. В этом случае уравнение (**) имеет вид 0×u + 0×v + 0 = 0. Этому уравнению удовлетворяют все возможные значения u и v. На геометрическом языке это значит, что все точки первой плоскости лежат на второй и наоборот. Следовательно, плоскости совпадают.

3) = 0, = 0, ¹ 0. В этом случае уравнение (**) имеет вид 0×u + 0×v + ( ) = 0. Это уравнение не имеет ни одного решения. На геометрическом языке это значит, что данные плоскости не имеют общих точек.

Следствие. Если П₁ : Ах + Ву + Сz + D = 0, П₂ : то П₁ || П₂ Û = 0, = 0.

Задача 17. Исследовать взаимное расположение плоскости и прямой, если

а) плоскость задана общим уравнением, прямая – параметрическими уравнениями;

б) плоскость и прямая заданы общими уравнениями.

Плоскость и прямая в прямоугольной системе координат

Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору

Дано: , М0(х0, у0, z0), , , П ' М0, П ^ . Найти уравнение П. Решение. М Î П Û либо , либо Û . Так как , то М Î П Û (47) Это векторное уравнение данной плоскости.

Рис. 48

Переходя к координатам, получим А(х - х₀) + В(у - у₀) + С(z - z₀) = 0/ (48)

Можно показать, что если плоскость задана в ПДСК общим уравнением (45), то вектор перпендикулярен этой плоскости.