Исследование взаимного расположения двух плоскостей
Дано: R = , П1 : А1х + В1у + С1z + D1 = 0, П2 : А2х + В2у + С2z + D2 = 0.
Исследовать взаимное расположение П1, П2 .
Решение. Задача сводится к исследованию системы (46)
Возможны случаи.
1. А1, В1, С1 и А2, В2, С2 не пропорциональны. В этом случае система (46) имеет бесконечно много решений, но уравнения не пропорциональны. На геометрическом языке получаем, что плоскости имеют бесконечно много общих точек, но не совпадают. Следовательно, П1 и П2 пересекаются по прямой.
Замечание. Если прямая задана общими уравнениями (19), то каждое отдельно взятое уравнение задаёт прямую, т.е. прямая задаётся как линия пересечения двух плоскостей.
2. . В этом случае уравнения системы (46) эквивалентны, т.е. каждое решение одного из них является решением второго. На геометрическом языке: каждая точка одной плоскости лежит на другой, т.е. плоскости совпадают.
3. . В этом случае системы (46) не имеет решений. На геометрическом языке: плоскости не имеют общих точек.
Следствие. Плоскости П1 : А1х + В1у + С1z + D1 = 0, П2 : А2х + В2у + С2z + D2 = 0 параллельны тогда и только тогда, когда .
Задача 16. Исследовать взаимное расположение плоскостей, если одна из них задании общим уравнением, а вторая – параметрическими уравнениями.
Дано: R = , П1 : Ах + Ву + Сz + D = 0, П2 :
Исследовать взаимное расположение П1, П2 .
Решение. Задача сводится к исследованию системы (*)
Подставив выражения х, у, z в первое уравнение и преобразовав его, получим
(**)
Возможны случаи:
1) ¹ 0 ( или
¹ 0). В этом случае уравнение (**) имеет бесконечно много решений, зависящих от одного параметра. Следовательно, система (*) тоже имеет бесконечно много решений, зависящих от одного параметра. На геометрическом языке это значит, что плоскости пересекаются по прямой.
2) = 0,
= 0,
= 0. В этом случае уравнение (**) имеет вид 0×u + 0×v + 0 = 0. Этому уравнению удовлетворяют все возможные значения u и v. На геометрическом языке это значит, что все точки первой плоскости лежат на второй и наоборот. Следовательно, плоскости совпадают.
3) = 0,
= 0,
¹ 0. В этом случае уравнение (**) имеет вид 0×u + 0×v + (
) = 0. Это уравнение не имеет ни одного решения. На геометрическом языке это значит, что данные плоскости не имеют общих точек.
Следствие. Если П1 : Ах + Ву + Сz + D = 0, П2 : то П1 || П2 Û
= 0,
= 0.
Задача 17. Исследовать взаимное расположение плоскости и прямой, если
а) плоскость задана общим уравнением, прямая – параметрическими уравнениями;
б) плоскость и прямая заданы общими уравнениями.
Плоскость и прямая в прямоугольной системе координат
Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору
Дано: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() |
Переходя к координатам, получим А(х - х0) + В(у - у0) + С(z - z0) = 0/ (48)
Можно показать, что если плоскость задана в ПДСК общим уравнением (45), то вектор перпендикулярен этой плоскости.